Minimale ternäre Linearcodierung aus vektoriellen Funktionen

Core Concepts

In dieser Arbeit wird eine notwendige und hinreichende Bedingung für eine große Klasse von ternären Linearcodierungen aus vektoriellen Funktionen präsentiert, damit diese Codes minimal sind. Basierend darauf werden mehrere minimale ternäre Linearcodierungen mit Drei-Gewichten konstruiert und ihre Gewichtsverteilungen bestimmt. Außerdem wird eine notwendige und hinreichende Bedingung für eine große Familie von ternären Linearcodierungen aus vektoriellen Funktionen gegeben, damit die Codes minimal sind und gleichzeitig die AB-Bedingung verletzen.

Abstract

Die Studie über minimale Linearcodierungen hat große Aufmerksamkeit erhalten, da sie wichtige Anwendungen in Geheimteilungsverfahren und sicherer Zwei-Parteien-Berechnung haben. Bis jetzt wurden zahlreiche minimale Linearcodierungen entdeckt, aber es wurde keine unendliche Familie von minimalen ternären Linearcodierungen aus vektoriellen Funktionen gefunden. In dieser Arbeit wird zunächst die Länge, Dimension und Mindestdistanz der ternären Linearcodierungen CF aus vektoriellen Funktionen F charakterisiert. Dann wird eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür präsentiert, dass CF minimal ist. Basierend darauf werden mehrere minimale ternäre Linearcodierungen mit Drei-Gewichten aus vektoriellen regulären plateauförmigen Funktionen konstruiert und ihre Gewichtsverteilungen bestimmt. Außerdem wird eine notwendige und hinreichende Bedingung für eine große Familie von ternären Linearcodierungen aus vektoriellen Funktionen gegeben, damit die Codes minimal sind und gleichzeitig die AB-Bedingung verletzen. Gemäß dieser Charakterisierung werden mehrere minimale ternäre Linearcodierungen konstruiert, die die AB-Bedingung verletzen.

Stats

Die minimale Distanz d der Codierung CF ist gegeben durch: d = 3^n - 3^(n-1) - 2/3 * max_{μ∈F_3^m*, ν∈F_3^n} Re(W_F(μ, ν))

Quotes

"Bis jetzt wurden zahlreiche minimale Linearcodierungen entdeckt, aber es wurde keine unendliche Familie von minimalen ternären Linearcodierungen aus vektoriellen Funktionen gefunden." "In dieser Arbeit wird eine notwendige und hinreichende Bedingung für eine große Klasse von ternären Linearcodierungen aus vektoriellen Funktionen präsentiert, damit diese Codes minimal sind."

Key Insights Distilled From

Minimal Ternary Linear Codes from Vectorial Functions

by Yanjun Li,Ha... at arxiv.org 03-19-2024

https://arxiv.org/pdf/2403.11775.pdf

Deeper Inquiries

Wie können die in dieser Arbeit vorgestellten Methoden auf andere Primzahlen p ≠ 3 erweitert werden, um weitere Familien minimaler linearer Codes zu finden

Um die in dieser Arbeit vorgestellten Methoden auf andere Primzahlen p ≠ 3 zu erweitern und weitere Familien minimaler linearer Codes zu finden, könnte man die Konzepte der Walsh-Transformation und der minimalen Codierung auf andere Primzahlen anpassen. Dies würde eine umfassende Analyse der Eigenschaften von Funktionen von Fn3 nach Fp erfordern, um ähnliche Bedingungen wie in der vorliegenden Arbeit abzuleiten. Durch die Anpassung der Kriterien für minimale lineare Codes an andere Primzahlen könnte eine breitere Palette von Codes entdeckt werden, die für verschiedene Anwendungen relevant sind.

Welche anderen Eigenschaften der vektoriellen Funktionen F könnten zusätzlich ausgenutzt werden, um die Konstruktion minimaler linearer Codes weiter zu verbessern

Zusätzlich zu den in der Arbeit genannten Eigenschaften der vektoriellen Funktionen F könnten weitere Merkmale wie die Regularität, die Plateauedness und die Symmetrie der Funktionen genutzt werden, um die Konstruktion minimaler linearer Codes weiter zu verbessern. Durch die gezielte Auswahl von Funktionen mit spezifischen Eigenschaften könnte die Effizienz und Sicherheit der Codes optimiert werden. Darüber hinaus könnten Techniken wie die Konstruktion von direkten Summenfunktionen oder die Verwendung von speziellen Funktionen wie Maiorana-McFarland-Funktionen zur Erzeugung neuer minimaler Codes erforscht werden.

Welche praktischen Anwendungen der in dieser Arbeit entwickelten minimalen ternären Linearcodierungen sind denkbar, insbesondere im Bereich der Kryptographie und sicheren Kommunikation

Die in dieser Arbeit entwickelten minimalen ternären Linearcodierungen haben vielfältige praktische Anwendungen, insbesondere im Bereich der Kryptographie und sicheren Kommunikation. Diese Codes können in der Datenübertragung, der Fehlerkorrektur und der Verschlüsselung eingesetzt werden, um die Integrität und Vertraulichkeit von Informationen zu gewährleisten. Beispielsweise könnten sie in sicheren Kommunikationssystemen, bei der Datenübertragung in Netzwerken oder bei der Speicherung sensibler Informationen verwendet werden. Die Fähigkeit, minimale Codes zu konstruieren, die gegen die AB-Bedingung verstoßen, könnte auch in der Entwicklung von robusten und sicheren Codierungssystemen von großem Nutzen sein.