複数の一変数多項式のニュートン基底におけるサブレザルタント多項式

Core Concepts

ニュートン基底で表現された複数の一変数多項式のサブレザルタント多項式を、ニュートン基底で表現された行列式多項式を用いて定式化する。

Abstract

本論文では、複数の一変数多項式のサブレザルタント多項式をニュートン基底で定式化する問題を扱う。

まず、ニュートン基底における多項式の随伴行列の概念を導入する。これを用いて、特別に設計された行列の一般化行列式多項式がニュートン基底でのサブレザルタント多項式の新しい定式化を提供することを示す。この定式化は、ニュートン基底での入力多項式と同じ基底でサブレザルタント多項式を表現する。

さらに、この新しい定式化の応用として、ニュートン多項式の最大公約数を基底変換を行うことなく計算する手法を提案する。

Stats

4x^3 - 8x^2 + 9x - 1 の先導係数は4である。
2x^3 - 3x^2 + 3x の先導係数は2である。
2x^3 - x^2 - x + 2 の先導係数は2である。

Quotes

"ニュートン基底で表現された複数の一変数多項式のサブレザルタント多項式を、ニュートン基底で表現された行列式多項式を用いて定式化する。"
"この新しい定式化の応用として、ニュートン多項式の最大公約数を基底変換を行うことなく計算する手法を提案する。"

Key Insights Distilled From

Subresultants of Several Univariate Polynomials in Newton Basis

by Weidong Wang... at arxiv.org 09-11-2024

https://arxiv.org/pdf/2212.03422.pdf

Deeper Inquiries

ニュートン基底以外の基底を用いた場合、サブレザルタント多項式の定式化はどのように行えるか?

ニュートン基底以外の基底を用いた場合、サブレザルタント多項式の定式化は、一般的にその基底に対応する伴随行列を構築することから始まります。例えば、パワー基底やラグランジュ基底を使用する場合、これらの基底に基づく伴随行列を定義し、その行列の行列式を用いてサブレザルタント多項式を表現します。具体的には、サブレザルタント多項式は、基底に関連する行列の特定のサブマトリックスの行列式を計算することによって得られます。このアプローチは、ニュートン基底のケースと類似しており、基底の選択に応じて行列の構造が変わるだけです。したがって、他の基底に対しても、同様の手法を適用することでサブレザルタント多項式を定式化することが可能です。

本手法を用いて、多項式の最大公約数以外にどのような応用が考えられるか?

本手法は、多項式の最大公約数（gcd）を計算するだけでなく、他にもいくつかの応用が考えられます。例えば、サブレザルタント多項式を用いることで、多項式の共通根の計算や、代数方程式系の解の存在条件を調べることができます。また、パラメトリックな多項式のgcdや、パラメトリックな重複度の計算にも応用可能です。さらに、数値解析や符号理論においても、特定の多項式の性質を調べるためにサブレザルタント多項式が利用されることがあります。これにより、計算代数の分野における多様な問題に対して、基底を保持したまま効率的にアプローチすることが可能になります。

本手法の数値的安定性はどの程度か、他の手法との比較はどうか?

本手法の数値的安定性は、基底変換を行わずに計算を行うため、特に数値的に安定していると考えられます。基底変換は、数値的な不安定性を引き起こす可能性があるため、ニュートン基底を用いたアプローチは、計算精度を保ちながら結果を得ることができます。他の手法と比較すると、例えばパワー基底を用いた従来の方法では、基底変換による誤差が蓄積されることがありますが、本手法ではそのリスクが軽減されます。したがって、特に数値的な精度が要求される応用において、本手法は非常に有用であると評価されます。