Core Concepts
本文提出一個基於代數數論和計算複雜性理論,判定實數根式表達式是否為零的算法,並證明其在廣義黎曼猜想下屬於 coNP 複雜度類別。
Abstract
論文資訊
Balaji, N., Nosan, K., Shirmohammadi, M., & Worrell, J. (2024). IDENTITY TESTING FOR RADICAL EXPRESSIONS. arXiv preprint arXiv:2202.07961v4.
研究目標
本論文旨在探討實數根式恆等式判定問題 (RIT) 的計算複雜度,即給定一個以代數電路表示的多變量多項式 f(x1, ..., xk) ∈ Z[x1, ..., xk],以及 k 個實數根式輸入 √a1, ..., √ak,其中 ai 和 di 為以二進制表示的非負整數,判定 f(√a1, ..., √ak) 是否等於 0。
方法
- 將 RIT 問題轉化為判定一個代數整數在由實數根式生成的數域中是否為零的問題。
- 利用數域的伽羅瓦群性質,特別是聯合遞移性,證明了可以將計算轉移到有限域 Fp 中進行,其中 p 為一個在數域中完全分裂的素數。
- 使用 Chebotarev 密度定理,證明了在廣義黎曼猜想下,可以在多項式時間內找到一個合適的素數 p。
- 對於 2-RIT 問題,即所有輸入根式均為平方根且所有被開方數 ai 均為素數的情況,利用二次互反律和狄利克雷關於等差數列中素數密度的定理,證明了可以在 coRP 複雜度類別內解決該問題。
主要發現
- 在廣義黎曼猜想下,RIT 問題屬於 coNP 複雜度類別。
- 2-RIT 問題在廣義黎曼猜想下屬於 coRP 複雜度類別,並且無條件地屬於 coNP 複雜度類別。
主要結論
本論文提出一個基於代數數論的實數根式恆等式判定問題算法,並證明其在廣義黎曼猜想下屬於 coNP 複雜度類別。對於 2-RIT 問題,該算法在廣義黎曼猜想下屬於 coRP 複雜度類別,並且無條件地屬於 coNP 複雜度類別。
研究意義
本論文的研究結果對於理解代數數論問題的計算複雜度具有重要意義,並為解決其他相關問題提供了新的思路和方法。
局限性和未來研究方向
- 本文提出的算法依賴於廣義黎曼猜想,未來研究可以探討如何在無需該猜想的情況下解決 RIT 問題。
- 可以進一步研究其他類型代數數的恆等式判定問題,例如包含嵌套根式的表達式。
Stats
|N(α)| ≤ 2^(2s^3) for s ≥ 4, where N(α) is the norm of the algebraic integer α computed by the circuit and s is the size of the RIT instance.
π1(2^(4s^3)) ≥ 2^(s^3) + 1, where π1(x) is the number of completely split primes less than or equal to x.
Quotes
"The topic of this paper is radical identity testing, that is, testing zeroness of an expression in radicals, represented by an algebraic circuit."
"Our symbolic algorithm places RIT in coNP, assuming the generalised Riemann hypothesis (GRH)."
"We show that 2-RIT is in coRP assuming GRH and in coNP unconditionally."