Core Concepts
本論文では、非局所進化方程式の線形システムに対する単一側前処理手法を提案し、その理論的な収束性と数値的な効率性を示した。
Abstract
本論文では、空間-時間分数Bloch-Torrey方程式と呼ばれる非局所進化方程式の離散化から得られる線形システムに対する前処理手法を提案している。
まず、従来の二重側前処理手法を単一側前処理に簡略化した。この単一側前処理は、空間行列を高速対角化可能な行列で近似し、時間行列は変更しないことで得られる。この単一側前処理は、二重側前処理に比べて、行列-ベクトル積の計算が高速で、実装も簡単である。
理論的には、単一側前処理を用いたGMRES法の収束性が、二重側前処理を用いたGMRES法の収束性よりも悪くならないことを示した。さらに、二重側前処理行列の条件数が定数に抑えられることも証明した。
数値実験の結果、提案する単一側前処理法は、二重側前処理法に比べて、反復回数と計算時間の両面で優れた性能を示した。これは、理論的な結果と一致している。
本論文の貢献は、二重側前処理を単一側前処理に簡略化したことと、理論的な収束性解析を行ったことである。提案手法は、空間離散化スキームに依存せずに適用できるため、幅広い応用が期待できる。
Stats
分数Bloch-Torrey方程式の時間離散化に用いるL1スキームでは、l(α)
0 > 0、l(α)
k ≤ 0 (k ≥ 1)が成り立つ。
空間離散化に用いる差分スキームは、w(β)
0 > 0、w(β)
k ≤ 0 (k ≥ 1)、inf
m≥1(m + 1)β(w(β)
0 + 2
m−1
P
k=1
w(β)
k ) > 0を満たす。
Quotes
"本論文では、二重側前処理を単一側前処理に簡略化することで、行列-ベクトル積の計算が高速で、実装も簡単になる。"
"理論的には、単一側前処理を用いたGMRES法の収束性が、二重側前処理を用いたGMRES法の収束性よりも悪くならないことを示した。"