Core Concepts
본 연구에서는 변수 계수를 가진 Riesz 공간 분수 확산 방정식에 대한 준압축 차분 스킴을 제안하고, 이에 대한 효율적인 τ-전처리기 기반 GMRES 솔버를 개발하였다. 이론적 분석을 통해 제안된 전처리기가 격자 크기에 독립적인 수렴 속도를 가짐을 보였다.
Abstract
본 연구는 변수 계수를 가진 Riesz 공간 분수 확산 방정식(RSFDE)에 대한 효율적인 수치 해법을 제안한다.
먼저, 시간 방향으로는 Crank-Nicolson 기법을, 공간 방향으로는 준압축 유한 차분 기법을 사용하여 RSFDE를 이산화한다. 이때 얻어지는 선형 시스템은 블록 삼중대각 행렬과 Toeplitz 행렬의 합 형태를 가진다.
이러한 선형 시스템을 효율적으로 풀기 위해, 본 연구에서는 sine 변환 기반의 τ-전처리기를 제안한다. 이론적 분석을 통해 제안된 전처리기가 격자 크기에 독립적인 GMRES 수렴 속도를 보장함을 증명하였다.
수치 실험을 통해 제안된 전처리기 기반 GMRES 솔버의 우수한 성능을 확인하였다. 특히 차원이 증가할수록 기존 일방향 전처리기 대비 제안 방법의 우위가 더욱 두드러졌다.
Stats
한 차원 문제에서 α1 = 1.30, 1.50, 1.90일 때 오차, CPU 시간, 반복 횟수 비교:
α1 = 1.30: 오차 9.44e-5, CPU 시간 1.41s(일방향), 1.01s(양방향), 반복 횟수 7.0(일방향), 6.6(양방향)
α1 = 1.50: 오차 1.27e-4, CPU 시간 1.33s(일방향), 0.93s(양방향), 반복 횟수 6.4(일방향), 6.2(양방향)
α1 = 1.90: 오차 2.34e-4, CPU 시간 1.21s(일방향), 0.81s(양방향), 반복 횟수 5.3(일방향), 5.0(양방향)