Core Concepts
주어진 비선형 문제에 대해 그 bifurcation 점과 동일한 특성을 가지는 근사 문제가 항상 존재한다.
Abstract
이 논문은 무한차원 Banach 공간에서 정상 상태 bifurcation 문제에 대해 근사 문제가 원래 문제의 bifurcation 점과 동일한 특성을 가지는지 여부를 다룬다.
먼저 일반 Banach 공간에서 특정 유형의 bifurcation 점을 가지는 방정식의 존재에 대한 충분 조건을 제시한다. 이를 위해 변분 분석, Graves 정리, 그 결과 및 집합 값 사상에 대한 수축 사상 원리 등의 기법을 사용한다.
이를 통해 주어진 근사 함수 Fh에 대해 Fh(λh, uh) - ρh = 0 형태의 방정식이 원래 문제의 bifurcation 점과 동일한 특성을 가지는 bifurcation 점을 가짐을 보인다. 이 방정식은 (1.3)으로 표현되는 일반적인 근사 방정식의 특수한 형태이다.
또한 Fh(λh, uh) - ρh = 0에서 bifurcation 점에서 Fh(λh, uh)와 동치인 클래스의 사상들이 존재함을 보인다.
마지막으로 정상 Navier-Stokes 방정식의 유한요소 근사에 대한 적용을 다룬다.
Stats
주어진 비선형 문제 F(λ, u) = 0에서 (λ0, u0)가 bifurcation 점이며 DuF(λ0, u0)가 Fredholm 연산자임
근사 문제 Fh(λh, uh) = 0에서 bifurcation 점이 항상 존재하지는 않음
본 논문에서는 Fh(λh, uh) - ρh = 0 형태의 근사 문제가 항상 원래 문제의 bifurcation 점과 동일한 특성을 가지는 bifurcation 점을 가짐을 보임
Quotes
"주어진 Fh가 F를 근사한다면, Fh(λh, uh) - ρh = 0 형태의 근사 문제가 존재하여 이 문제의 bifurcation 점이 (λ0, u0)의 bifurcation 점과 동일한 특성을 가진다."
"(1.4)는 (1.3)의 특수한 형태이며, (1.1)의 질적 측면을 연구하는 데 사용될 수 있다."