Core Concepts
3-차원 배열, 군, 다항식 동형성 문제들이 선형 길이 환원을 통해 서로 연결되며, 이를 통해 그래프 동형성 문제가 P에 있다면 입력 크기에 선형적인 시간 복잡도로 입방체 형식 동등성 문제와 대수 동형성 문제를 해결할 수 있다.
Abstract
이 논문은 3-차원 배열, 군, 다항식 동형성 문제들 간의 복잡도 관계를 다룬다.
먼저 저자들은 이전에 이러한 문제들이 다항식 시간 환원을 통해 서로 연결될 수 있음을 보였다. 그러나 이 환원 과정에서 3-차원 배열의 길이가 2차 증가하는 문제가 있었다. 이는 군 동형성 문제에서 군의 크기가 지수적으로 증가하여 이득을 상쇄시켰다.
이 논문에서는 새로운 3-차원 배열 gadget을 제안하여 이 문제를 해결한다. 이를 통해 다음과 같은 결과를 얻는다:
그래프 동형성 문제가 P에 있다면, n변수 입방체 형식 동등성 문제와 n차원 대수 동형성 문제를 각각 qO(n) 시간에 해결할 수 있다. 이는 기존의 brute-force 상한 qO(n2)를 개선한 것이다.
지수 p, 계급 2인 p-군 동형성 검사 알고리즘(Sun, STOC '23)을 지수 p, 계급 c (c < p)인 p-군으로 확장하고, 입방체 형식 동등성과 대수 동형성 문제에 대해 qO(n1.8·log q) 시간 알고리즘을 제시한다.
지수 p, 계급 2인 p-군 동형성 검사에 대해 Cayley 표 입력 하에서 다항식 시간 탐색-결정, 계수-결정 환원을 제시한다. 이는 Arvind와 Tóran이 제기한 문제에 대한 답변이 된다.
이러한 결과는 3-차원 배열에 대한 새로운 gadget 설계와 더불어, 이를 보다 모듈화되고 조합 가능한 방식으로 제시한 것이 핵심이다. 이 결과는 Sun의 알고리즘을 단순화하고 일반화하는 데에도 활용된다.
Stats
그래프 동형성 문제가 P에 있다면, n변수 입방체 형식 동등성 문제와 n차원 대수 동형성 문제를 각각 qO(n) 시간에 해결할 수 있다.
지수 p, 계급 c (c < p)인 p-군 동형성 검사를 N ˜O((log N)1/2) 시간에 해결할 수 있다.
Quotes
"그래프 동형성 문제가 P에 있다면, 입방체 형식 동등성 문제와 대수 동형성 문제를 각각 qO(n) 시간에 해결할 수 있다."
"지수 p, 계급 c (c < p)인 p-군 동형성 검사를 N ˜O((log N)1/2) 시간에 해결할 수 있다."