Der Artikel befasst sich mit der Komplexität von Isomorphieproblemen für Tensoren, Gruppen und Polynome. Viele dieser Probleme wurden kürzlich als äquivalent zueinander unter polynomiellen Reduktionen gezeigt, was zur Einführung der Komplexitätsklasse TI führte.
Bisher hatten die Reduktionen oft eine quadratische Zunahme der Länge der beteiligten Tensoren zur Folge. Dies führte bei der Anwendung auf p-Gruppen zu einer Erhöhung der Gruppenordnung um einen Faktor von |G|Θ(log |G|), was die Verbesserungen zunichtemachte.
In dieser Arbeit werden neue Tensor-Gadgets vorgestellt, die es ermöglichen, diese quadratischen Reduktionen durch lineare Reduktionen zu ersetzen. Dies hat folgende Konsequenzen:
Wenn Graphenisomorphie in P liegt, können die Äquivalenz kubischer Formen über Fq und der Isomorphismus n-dimensionaler Algebren über Fq in Zeit qO(n) gelöst werden, was eine Verbesserung gegenüber dem brute-force Ansatz mit qO(n2) ist.
In Kombination mit dem Algorithmus von Sun für p-Gruppen der Klasse 2 und Exponent p lassen sich die Laufzeiten auf p-Gruppen der Klasse c < p und Exponent p erweitern. Außerdem ergeben sich Algorithmen in Zeit qO(n1.8·log q) für kubische Formäquivalenz und Algebrenisomorphismus.
Es werden polynomielle Such- und Zählreduktionen für den Isomorphismus von p-Gruppen der Klasse 2 und Exponent p präsentiert, wenn die Cayley-Tafeln gegeben sind. Dies beantwortet Fragen von Arvind und Tóran für diese Gruppenklasse.
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by Joshua A. Gr... at arxiv.org 04-15-2024
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