分数ブラウン運動で駆動される粗い微分方程式の解の期待値の非対称展開式とその応用

Core Concepts

本論文は、マリアヴァン解析の手法を用いて、多次元ウィーナー汎関数の期待値の新しい一般的な非対称展開式を提示する。この展開式は、ターゲットウィーナー汎関数のマリアヴァン共分散行列の逆行列に対する弱い条件の下で示される。特に、この手法は、複雑な分数積分計算を使わずに、ハースト指数H < 1/2の分数ブラウン運動で駆動される多次元粗い微分方程式の解の不規則な汎関数の期待値の展開を提供する。

Abstract

本論文では、一般的なウィーナー汎関数の期待値の新しい非対称展開式を導出する。この展開式は、以下の点で従来の展開式を拡張している:

ウィーナー汎関数Fεの展開が、より一般的な分数オーダーの展開となっている。
一様非退化条件よりも弱い条件の下で展開が得られる。
展開係数の新しい表現が、マリアヴァン微分、スコロホド積分、テンソル積の内積計算を用いて導出されており、様々な問題に適用できる。

特に、この展開式は、ハースト指数H < 1/2の分数ブラウン運動で駆動される粗い微分方程式の解の不規則な汎関数の期待値の展開に適用できる。展開係数は、分数ブラウン運動の多項式で表現されるため、モンテカルロ法や準モンテカルロ法による数値計算が容易になる。

Stats

分数ブラウン運動のカーネルKH(t, s)は、H < 1/2の場合、特異的な性質を持つ。
粗い微分方程式のスケーリングパラメータεは、解Xε,x
tの非対称展開に関係する。
展開係数κ1, κ2, ...は、1/3 < H < 1/2の場合、κ1 = 1, κ2 = 2, κ3 = 1/H, κ4 = 3, ...となる。

Quotes

"本論文は、マリアヴァン解析の手法を用いて、多次元ウィーナー汎関数の期待値の新しい一般的な非対称展開式を提示する。"
"特に、この手法は、複雑な分数積分計算を使わずに、ハースト指数H < 1/2の分数ブラウン運動で駆動される多次元粗い微分方程式の解の不規則な汎関数の期待値の展開を提供する。"

Key Insights Distilled From

New asymptotic expansion formula via Malliavin calculus and its application to rough differential equation driven by fractional Brownian motion

by Akihiko Taka... at arxiv.org 04-24-2024

https://arxiv.org/pdf/2306.13405.pdf

Deeper Inquiries

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