Core Concepts
グラフHkの安定集合多面体のLS+ランクは、頂点数の線形関数で漸近的に表される。これは、これまでの最良の結果を大幅に改善するものである。
Abstract
本論文では、グラフHkの安定集合多面体のLS+ランクについて分析している。
まず、グラフHkの定義と基本的な性質を示す。Hkは、完全二部グラフの辺を長さ2の経路に置き換えることで構成される。Hkには豊富な対称性があり、特に、A2-balancing自己同型写像が存在する。
次に、A-balancing自己同型写像の性質を利用して、LSp
+(Hk)の2次元の影(shadow)Φ(LSp
+(Hk))を考察する。これにより、LSp
+(Hk)の重要な性質を2次元の問題に帰着させることができる。
さらに、Φ(STAB(Hk))を完全に特徴付ける。これにより、Φ(LSp
+(Hk))とΦ(STAB(Hk))の差を見つけることで、r+(Hk) > pを示すことができる。
具体的には、Lemma 16で、wk(a, b)がLS+(Hk)に属するための必要十分条件を特徴付ける。これを用いて、Φ(LS+(Hk))を3つの線形不等式と1つの二次不等式で記述できる集合に含まれることを示す。この集合はΦ(STAB(Hk))より大きいことから、r+(Hk) ≥2が導かれる。
最後に、再帰的な議論により、r+(Hk) = Ω(|V (Hk)|)を示す。これは、これまでの最良の結果を大幅に改善するものである。
Stats
|V(Hk)| = 3k
α(Hk) = k + 1
不等式(3)は STAB(Hk)の facet
不等式(4)は STAB(Hk)の有効な不等式
Quotes
"LS+は、グラフの安定集合問題に対して良好な性能を発揮することが知られている。"
"これまでの最良の結果では、グラフの頂点数の平方根に比例してLS+ランクが増大するにすぎなかった。"