이 논문은 그래프의 안정집합 다면체에 대한 Lovász-Schrijver SDP 연산자 LS+의 리프트-앤-프로젝트 순위를 연구한다.
먼저, 그래프 Hk 가족을 정의하고 이들의 기본적인 성질을 분석한다. 이 그래프 가족은 대칭성이 풍부하여 LS+ 릴랙세이션을 분석하는 데 유용하다.
다음으로, Hk의 LS+-순위에 대한 하한을 증명한다. 구체적으로, Hk의 LS+-순위가 |V(Hk)|의 선형 함수라는 것을 보인다. 이는 이전에 알려진 결과보다 큰 진전이다.
이를 위해, Hk의 대칭성을 활용하여 LS+(Hk)의 2차원 그림자(shadow)를 분석한다. 이를 통해 LS+(Hk)에 속하지만 STAB(Hk)에 속하지 않는 점을 찾아낼 수 있다. 이는 Hk의 LS+-순위가 2 이상이라는 것을 보이는 핵심 아이디어이다.
마지막으로, 이러한 접근법을 확장하여 정점-대칭 그래프 가족의 LS+-순위에 대한 하한도 제시한다.
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