밀집 부그래프 파괴하기는 어렵다

Core Concepts

주어진 그래프 G, 예산 k, 목표 밀도 τρ에 대해, k개의 간선(또는 정점)을 제거하여 가장 밀집된 부그래프의 밀도가 τρ 이하가 되도록 하는 것은 NP-완전한 문제이다.

Abstract

이 논문은 Bounded-Density Edge Deletion과 Bounded-Density Vertex Deletion 문제의 계산 복잡성을 분석한다.
Bounded-Density Edge Deletion 문제: 주어진 그래프 G, 예산 k, 목표 밀도 τρ에 대해, k개의 간선을 제거하여 가장 밀집된 부그래프의 밀도가 τρ 이하가 되도록 하는 것.
Bounded-Density Vertex Deletion 문제: 주어진 그래프 G, 예산 k, 목표 밀도 τρ에 대해, k개의 정점을 제거하여 가장 밀집된 부그래프의 밀도가 τρ 이하가 되도록 하는 것.
저자들은 다음과 같은 결과를 보였다:

트리와 클릭에 대해서는 다항식 시간에 해결할 수 있다.
평면 이분 그래프와 분할 그래프에 대해서는 NP-완전하다.
정점 커버 수에 대해서는 고정-매개변수 tractable하지만, 해의 크기에 대해서는 W[1]-hard이다.
Bounded-Density Edge Deletion 문제는 피드백 간선 수에 대해서도 W[1]-hard이다.

Stats

그래프 G의 밀도 ρ(G)는 간선 수 m과 정점 수 n의 비율 m/n이다.
그래프 G의 가장 밀집된 부그래프의 밀도 ρ∗(G)는 G의 모든 부그래프 중 가장 큰 밀도를 가진다.
사이클은 밀도 1을 가지고, 숲은 밀도 1 미만을 가진다.
목표 밀도 τρ < 1인 경우, 결과 그래프의 각 연결 성분은 최대 ⌊1/(1 −τρ)⌋개의 정점을 가져야 한다.

Quotes

"Bounded-Density Edge Deletion은 평면 이분 그래프와 분할 그래프에서도 NP-완전하다."
"Bounded-Density Edge Deletion 문제는 피드백 간선 수에 대해서도 W[1]-hard이다."
"Bounded-Density Vertex Deletion 문제는 정점 커버 수에 대해 고정-매개변수 tractable하다."

Key Insights Distilled From

Destroying Densest Subgraphs is Hard

by Cris... at arxiv.org 04-15-2024

https://arxiv.org/pdf/2404.08599.pdf

Deeper Inquiries

질문 1

밀집 부그래프 파괴 문제에 대한 다른 접근 방식은 무엇이 있을까?
답변 1 여기에 입력

질문 2

목표 밀도 τρ가 1보다 큰 경우에 대한 복잡성 결과는 어떻게 달라질까?
답변 2 여기에 입력

질문 3

밀집 부그래프 파괴 문제와 관련된 실제 응용 사례에는 어떤 것들이 있을까?
답변 3 여기에 입력