Core Concepts
부분적으로 주어진 3차 텐서의 순위-1 완성 문제는 특수한 순위-1 행렬 복구 문제와 동등하다. 이 문제는 핵 노름 완화와 모멘트 완화 방법을 통해 해결할 수 있다. 특히 텐서가 강력하게 순위-1 완성 가능한 경우, 반복 공식을 통해 효율적으로 해결할 수 있다.
Abstract
이 논문은 3차 텐서의 순위-1 완성 문제를 다룬다. 먼저 이 문제가 특수한 순위-1 행렬 복구 문제와 동등함을 보인다. 이를 위해 부분적으로 주어진 3차 텐서 A에 대해 다음과 같은 문제를 고려한다:
순위-1 텐서 a⊗b⊗c를 찾는 문제 (3.5절)
순위-1 행렬 X=ab^T를 찾는 문제 (3.7절)
이 두 문제는 서로 동등하다는 것을 보인다 (정리 3.1).
다음으로 핵 노름 완화 방법을 적용하여 순위-1 행렬 X를 찾는 방법을 제안한다 (3.2절). 그러나 이 방법은 때때로 실패할 수 있다는 것을 보인다 (예제 3.3).
이러한 경우, 모멘트 계층 SDP 완화를 통해 항상 순위-1 텐서 완성을 얻거나 그 존재를 감지할 수 있음을 보인다 (4절).
특히 텐서 A가 강력하게 순위-1 완성 가능한 경우, 순위-1 행렬 완성 문제로 환원되며 반복 공식을 통해 효율적으로 해결할 수 있다 (3.3절).
마지막으로 대칭 텐서의 경우에 대해 추가적인 성질을 보인다 (5절).
Stats
Aijk = 2, (i, j, k) = (1, 2, 1)
Aijk = 4, (i, j, k) = (1, 3, 1)
Aijk = 1, (i, j, k) = (4, 4, 1)
Aijk = 4, (i, j, k) = (1, 1, 2)
Aijk = 4, (i, j, k) = (2, 3, 2)
Aijk = 2, (i, j, k) = (3, 2, 2)
Aijk = 2, (i, j, k) = (4, 1, 2)
Aijk = 1, (i, j, k) = (3, 4, 3)
Aijk = 1, (i, j, k) = (4, 2, 3)
Aijk = 1, (i, j, k) = (4, 4, 3)
Aijk = 2, (i, j, k) = (1, 1, 4)
Quotes
X^* = [1.0000 1.0000 2.0000 1.0000; 0.5000 0.5000 1.0000 0.5000; 0.5000 0.5000 1.0000 0.5000; 0.5000 0.5000 1.0000 0.5000]
a^* = [1.0000, 0.5000, 0.5000, 0.5000]
b^* = [1.0000, 1.0000, 2.0000, 1.0000]
c^* = [2.0000, 4.0000, 2.0000, 2.0000]