ユークリッド計量下のコンパクトStiefel多様体の内射半径

Core Concepts

ユークリッド計量下のStiefel多様体の内射半径はπである。

Abstract

本論文では、ユークリッド計量下のStiefel多様体の内射半径を明らかにしている。
まず、Stiefel多様体上のユークリッド測地線が一定のFrenet曲率を持つ空間曲線であることを示した。これにより、これらの測地線は(2.4)式で表される形をとることがわかった。
次に、曲率の上界を用いて、ユークリッド計量下での最短閉測地線の長さが2πであることを証明した。
最後に、Klingenbergの定理を適用することで、ユークリッド計量下のStiefel多様体の内射半径がπであることを結論付けた。

Stats

∥γ(j)(t)∥≡const.
∥˙
γ(t)∥2 = 1
∥¨
γ(t)∥2 ≤1

Quotes

γ(t) = (a1 cos(b1t), a1 sin(b1t), ..., am cos(bmt), am sin(bmt))T ∈R2p2
L(γ|[0,k]) = k = 2πli
bi
≥2π

Key Insights Distilled From

The injectivity radius of the compact Stiefel manifold under the Euclidean metric

by Ralf Zimmerm... at arxiv.org 05-06-2024

https://arxiv.org/pdf/2405.02268.pdf

Deeper Inquiries

Stiefel多様体上のその他の計量(α-計量など)における内射半径はどのように特徴付けられるか

Stiefel多様体上のその他の計量(α-計量など)における内射半径はどのように特徴付けられるか?
Stiefel多様体における他の計量（例：α-計量）の内射半径は、同様に、その計量に関連する最短閉測地線の長さや断面曲率などの幾何学的性質に基づいて特徴付けされます。特定の計量における内射半径は、その計量が定義する幾何学的構造に依存し、最短閉測地線の長さや断面曲率などが決定要因となります。したがって、他の計量下でのStiefel多様体の内射半径は、その計量が定める幾何学的性質によって決まります。

ユークリッド計量以外の計量下での最短閉測地線の性質はどのようなものか

ユークリッド計量以外の計量下での最短閉測地線の性質はどのようなものか?
ユークリッド計量以外の計量下での最短閉測地線は、通常の直線的な性質を持たない可能性があります。他の計量では、最短閉測地線が曲がったり、特定の曲率を持ったりすることがあります。これは、計量が定める幾何学的構造によって異なります。例えば、Stiefel多様体においてユークリッド計量以外の計量を考えると、最短閉測地線がユークリッド計量の場合とは異なる性質を示す可能性があります。断面曲率や曲線の特性が計量によって変化するため、最短閉測地線の性質も異なることがあります。

Stiefel多様体の内射半径の知見は、どのような応用分野で役立つか

Stiefel多様体の内射半径の知見は、どのような応用分野で役立つか?
Stiefel多様体の内射半径の知見は、数学や計算科学のさまざまな応用分野で重要な役割を果たします。例えば、最適化問題や統計学、データサイエンス、数値計算などの分野において、Stiefel多様体の内射半径を理解することで、計算や解析の効率を向上させることができます。さらに、内射半径は幾何学的性質を表す重要な指標であり、特定の計量下での最短閉測地線の長さや断面曲率とも関連しています。そのため、Stiefel多様体の内射半径の研究は、幅広い数学的応用や理論的研究において有益な知見を提供します。