曲線結合が完成されたMaiorana-McFarland類に属さない条件

Core Concepts

曲線結合f = f1||f2またはf = f1||f2||f3||f4が完成されたMaiorana-McFarland類M#に属さない必要十分条件を明らかにする。

Abstract

本論文では、曲線結合f = f1||f2およびf = f1||f2||f3||f4のM-部分空間の構造を完全に特徴付けることで、fがM#外にあるための必要十分条件を明らかにしている。
f = f1||f2の場合:

f1とf2が共通の(k+1)次元M-部分空間を持たないこと
f1とf2のすべてのk次元M-部分空間Vと任意のu∈Fnに対して、Vの中のある a∈Vが存在し、Daf1(z) + Daf2(z + u) ≠ 0となること
f = f1||f2||f3||f4の場合:

f1, ..., f4が共通の(n/2+1)次元M-部分空間を持たないこと
f1, ..., f4の共通のn/2次元M-部分空間Vと任意のa∈Fnが存在し、Dvf1 + Dvf a
2 = Dvf3 + Dvf a
4 = 0、または
Dvf1 + Dvf a
3 = Dvf2 + Dvf a
4 = 0、または
Dvf1 + Dvf a
4 = Dvf2 + Dvf a
3 = 0が成り立たないこと
f1, ..., f4の共通のn/2-1次元M-部分空間Vと任意のa, b∈Fnが存在し、Dvf1 + Dvf a
3 = Dvf2 + Dvf a
4 = Dvf1 + Dvf b
2 = Dvf3 + Dvf b
4 = 0、かつ
f1(x) + f2(x + b) + f3(x + a) + f4(x + a + b) = 0が成り立たないこと
これらの条件に基づき、g||h||g||(h+1)型の曲線結合が常にM#外にあることを示している。

Stats

f1(x) + f2(x + b) + f3(x + a) + f4(x + a + b) = 0

Quotes

なし

Key Insights Distilled From

When does a bent concatenation not belong to the completed Maiorana-McFarland class?

by Sadmir Kudin... at arxiv.org 04-26-2024

https://arxiv.org/pdf/2404.16220.pdf

Deeper Inquiries

曲線結合f = f1||f2||f3||f4においてf1, ..., f4がすべてM#外の場合、fがM#に属するかどうかを判定する条件はあるか

Theorem 10によれば、f = f1||f2||f3||f4において、f1, ..., f4がすべてM#外の場合、fがM#に属するかどうかは、gとhが共通の(n/2)-次元M-部分空間を持つかどうかに依存します。したがって、fがM#に属するためには、gとhが共通のM-部分空間を持つ必要があります。逆に、fがM#外にあるためには、gとhが共通のM-部分空間を持たない必要があります。

曲線結合の構造以外に、M#外の曲線結合を設計する方法はないか

Theorem 19では、gがM#クラスに属し、qが唯一のn/2次元M-部分空間を持つベント関数である場合、適切なアフィン変換を適用することでM#クラス内および外の曲線結合を生成できることが示されています。この結果を利用することで、M#外の曲線結合を設計する方法が提供されます。

曲線結合以外の手法で、M#外のベント関数を構成する一般的な方法はないか

Theorem 16によれば、n+2変数のベント関数を構築するために、n変数のベント関数を使用する方法が提供されます。この手法を適用することで、M#外のベント関数を構成する一般的な方法が提供されます。また、Corollary 18によれば、n≥10の場合、M#外のベント関数を構築することが可能であることが示されています。