Explizite asymptotisch gute relaxed lokal korrigierbare Codes mit polylogarithmischer Abfragekomplexit??t

Core Concepts

Wir konstruieren die ersten asymptotisch guten relaxed lokal korrigierbaren Codes mit polylogarithmischer Abfragekomplexit??t, die die untere Schranke von Gur und Lachish (SICOMP 2021) polynomiell nahe kommen. Unser Ergebnis folgt daraus, dass wir zeigen, dass ein hochratiger lokal testbarer Code die Blocklänge eines kleineren relaxed lokal korrigierbaren Codes verlängern kann, während er den Korrekturradius beibehält und nur eine bescheidene additive Kosten in Rate und Abfragekomplexit??t verursacht.

Abstract

Die Autoren konstruieren explizite asymptotisch gute relaxed lokal korrigierbare Codes (RLCCs) mit polylogarithmischer Abfragekomplexit??t. Zunächst starten sie mit einem RLCC mit sehr kleiner Blocklänge, das trivialerweise ein RLCC mit polylogarithmischer Abfragekomplexit??t ist, da es einen Korrektor hat, der alle polylog 𝑛 Symbole der Eingabe liest. Dann wenden sie eine Transformation an, die dieses kleine RLCC nutzt, um ein RLCC mit etwas größerer Blocklänge zu bauen. Diesen Prozess können sie wiederholen, bis sie die gewünschte Blocklänge 𝑛 erreichen. Der Schlüssel ist die Verwendung von lokal testbaren Codes (LTCs). Bei jedem Schritt nutzen sie einen LTC, um zu überprüfen, ob die Eingabe nur wenig korrupt ist. Ist dies der Fall, können sie "hineinzoomen" und den Korrektor des kleineren Codes rekursiv aufrufen. Durch iteratives Anwenden dieser Operation mit einer geeigneten Familie von LTCs erhalten sie asymptotisch gute Codes mit relaxter lokaler Korrigierbarkeit, beliebig großer Blocklänge und polylogarithmischer Abfragekomplexit??t. Die Codes erben asymptotisch die Rate und den Abstand jedes lokal testbaren Codes, der in der letzten Anwendung des Verfahrens verwendet wird. Daher liefert unser Rahmenwerk auch nicht-explizite relaxed lokal korrigierbare Codes mit polylogarithmischer Abfragekomplexit??t, die sich dem Gilbert-Varshamov-Bound annähern.

Stats

Für jedes hinreichend große 𝑁 gibt es einen Integerwert 𝑛∈[Ω(𝑁/log30 𝑁), 𝑁] und eine Familie von expliziten binären linearen LTCs, die folgende Eigenschaften haben: Rate 𝑅≥1 −𝑂(1/log 𝑁) Abstand 𝛿LTC ≥Ω(1/log3 𝑁) Testbarkeit 𝜅LTC ≥Ω(1/log15 𝑁) Abfragekomplexit??t 𝑞LTC ≤𝑂(log20 𝑁) Blocklänge 𝑛 𝑗, wobei 𝑛1 ≤𝑂(log50 𝑁), 𝑛𝑚= 𝑛 und ∀𝑗. 𝑛 𝑗+1/𝑛 𝑗= Θ(log30 𝑁) Anzahl der Codes 𝑚= 𝑂(log 𝑁/log log 𝑁)

Quotes

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Key Insights Distilled From

Relaxed Local Correctability from Local Testing

by Vinayak M. K... at arxiv.org 04-02-2024

https://arxiv.org/pdf/2306.17035.pdf

Deeper Inquiries

Wie könnte man die Konstruktion weiter verbessern, um den Korrekturradius zu erhöhen, ohne die Rate oder Abfragekomplexit

Um den Korrekturradius zu erhöhen, ohne die Rate oder Abfragekomplexität zu verschlechtern, könnte man die Konstruktion durch die Verwendung von mehreren Schichten von LTCs verbessern. Anstatt nur eine Sequenz von LTCs zu verwenden, könnte man mehrere Schichten von LTCs ineinander verschachteln, um den Korrekturradius zu erhöhen. Durch die Verwendung von mehreren Schichten von LTCs mit unterschiedlichen Distanzen und Testbarkeiten könnte man eine hierarchische Struktur schaffen, die es ermöglicht, Fehler auf verschiedenen Ebenen zu erkennen und zu korrigieren. Dies würde es ermöglichen, den Korrekturradius zu erhöhen, ohne die Rate oder Abfragekomplexität signifikant zu beeinträchtigen.

Die Entwicklung von RLCCs mit polylogarithmischer Abfragekomplexität könnte in verschiedenen Anwendungen und Bereichen der Informatik von Nutzen sein. Ein Bereich, in dem solche Codes nützlich sein könnten, ist die Datenübertragung und -speicherung, insbesondere in Umgebungen mit hoher Fehlerrate. Durch die Verwendung von RLCCs mit polylogarithmischer Abfragekomplexität können Daten effizient übertragen und gespeichert werden, auch wenn Fehler auftreten. Dies könnte die Zuverlässigkeit von Datenübertragungen und -speicherungen verbessern und die Notwendigkeit für aufwändige Fehlerkorrekturmechanismen reduzieren.

t zu verschlechtern

Um die Konstruktion auf andere Fehlermodelle wie Einfüge-Lösch-Fehler oder beschränkt rechenaufwendige Fehler zu erweitern, könnte man die Definitionen von RLCCs und LTCs entsprechend anpassen. Für Einfüge-Lösch-Fehler könnte man die Definition von RLCCs anpassen, um nicht nur Fehlerkorrektur, sondern auch Einfüge- und Löschoperationen zu ermöglichen. Für beschränkt rechenaufwendige Fehler könnte man die Definition von LTCs anpassen, um die Testbarkeit von Codewörtern unter Berücksichtigung der beschränkten Rechenressourcen des Angreifers zu ermöglichen. Durch diese Anpassungen könnte die Konstruktion auf verschiedene Fehlermodelle erweitert werden.