Core Concepts
Überraschenderweise ist die effiziente Abdeckung von konvexen Polygonen mit mehrfacher Sichtbarkeit und blockierenden Wächtern nicht trivial. Es werden enge Schranken für die Anzahl der benötigten Wächter in Abhängigkeit von der Polygongröße und der gewünschten Abdeckungstiefe hergeleitet.
Abstract
Die Autoren untersuchen eine Variante des Kunstgalerie-Problems, bei der jeder Punkt eines Polygons von mindestens k Wächtern gesehen werden muss und Wächter die Sichtlinien anderer Wächter blockieren. Selbst für konvexe Polygone ist diese Aufgabe nicht trivial.
Für konvexe n-Ecke werden folgende Ergebnisse gezeigt:
Für k ≤ n Ecken sind k Wächter notwendig und ausreichend.
Für n < k < 4n - 2 sind k + 1 Wächter notwendig und ausreichend.
Für 4n - 2 ≤ k sind k + 2 Wächter notwendig und ausreichend.
Der Beweis verwendet das Konzept der "dunklen Strahlen", die von Wächtern erzeugt werden und sich nicht überschneiden dürfen. Für den Fall von 4n - 2 Wächtern wird eine spezielle Konstruktion angegeben, die diese Bedingung erfüllt.
Für einfache Polygone werden ebenfalls Schranken hergeleitet, die jedoch nicht so eng sind wie für konvexe Polygone. Außerdem wird gezeigt, dass für Winkel (unbegrenzte konvexe Polygone) ähnliche Schranken gelten.
Stats
Es gibt n Ecken im Polygon.
k ist die gewünschte Abdeckungstiefe.
g ist die Anzahl der benötigten Wächter.
Quotes
"Überraschenderweise ist die effiziente Abdeckung von konvexen Polygonen mit mehrfacher Sichtbarkeit und blockierenden Wächtern nicht trivial."
"Für konvexe n-Ecke werden folgende Ergebnisse gezeigt: ..."