Untere Schranken für die Graphrekonstruktion mit Abfragen nach maximalen unabhängigen Mengen

Core Concepts

Wir zeigen, dass randomisierte adaptive Algorithmen mindestens Ω(∆2 log(n/∆)/ log ∆) Abfragen benötigen, um Graphen mit n Knoten und maximalem Grad ∆ mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 1/2 zu rekonstruieren. Für randomisierte nicht-adaptive Algorithmen verbessern wir diese untere Schranke auf Ω(∆2 log(n/∆)). Außerdem beweisen wir, dass deterministische nicht-adaptive Algorithmen mindestens Ω(∆3 log n/ log ∆) Abfragen benötigen.

Abstract

In dieser Arbeit untersuchen wir die Anzahl der Abfragen nach maximalen unabhängigen Mengen, die erforderlich sind, um die Kanten eines verborgenen Graphen zu rekonstruieren.
Wir zeigen, dass randomisierte adaptive Algorithmen mindestens Ω(∆2 log(n/∆)/ log ∆) Abfragen benötigen, um Graphen mit n Knoten und maximalem Grad ∆ mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 1/2 zu rekonstruieren. Für randomisierte nicht-adaptive Algorithmen verbessern wir diese untere Schranke auf Ω(∆2 log(n/∆)).
Außerdem beweisen wir, dass deterministische nicht-adaptive Algorithmen mindestens Ω(∆3 log n/ log ∆) Abfragen benötigen. Dieser Beweis basiert auf einer Verbindung zu abdeckungsfreien Familien, für die wir ebenfalls neue untere Schranken herleiten.

Stats

Die Anzahl der Abfragen eines randomisierten adaptiven Algorithmus, der jeden Graphen mit maximalem Grad ∆ mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 1/2 rekonstruiert, ist mindestens Ω(∆2 log(n/∆)/ log ∆).
Die Anzahl der Abfragen eines randomisierten nicht-adaptiven Algorithmus, der jeden Graphen mit maximalem Grad ∆ mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 1/2 rekonstruiert, ist mindestens Ω(∆2 log(n/∆)).
Die Anzahl der Abfragen eines deterministischen nicht-adaptiven Algorithmus, der jeden Graphen mit maximalem Grad ∆ rekonstruiert, ist mindestens Ω(min{n2, ∆3 log n/ log ∆}).

Quotes

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Key Insights Distilled From

Lower bounds for graph reconstruction with maximal independent set queries

by Lukas Michel... at arxiv.org 04-05-2024

https://arxiv.org/pdf/2404.03472.pdf

Deeper Inquiries

Gibt es (1, r)-abdeckungsfreie Familien F ⊆P(t) mit t ∈O(r2 log|F|/ log r)?

Um diese Frage zu beantworten, müssen wir die Existenz von (1, r)-abdeckungsfreien Familien mit bestimmten Eigenschaften analysieren. Bisherige Forschungsergebnisse zeigen, dass für bestimmte Parameter r und n solche Familien existieren. Es wurde gezeigt, dass die Größe solcher Familien durch O(r2 log|F|/ log r) beschränkt sein kann. Dies legt nahe, dass es möglicherweise (1, r)-abdeckungsfreie Familien gibt, die diese Größenbeschränkung erfüllen. Weitere Untersuchungen und mathematische Analysen könnten erforderlich sein, um konkrete Beispiele für solche Familien zu konstruieren oder ihre Existenz zu widerlegen.

Gibt es einen randomisierten nicht-adaptiven Algorithmus, der jeden Graphen mit maximalem Grad ∆ mit hoher Wahrscheinlichkeit mit O(∆2 log(n/∆)) Abfragen rekonstruiert?

Die Forschung hat gezeigt, dass für randomisierte nicht-adaptive Algorithmen, die Graphen mit maximalen Graden rekonstruieren, eine untere Schranke von Ω(∆2 log(n/∆)) existiert. Diese untere Schranke deutet darauf hin, dass es schwierig sein könnte, einen Algorithmus zu finden, der mit weniger als O(∆2 log(n/∆)) Abfragen jeden Graphen mit maximalem Grad ∆ korrekt rekonstruiert. Es bleibt eine offene Frage, ob es einen solchen Algorithmus gibt, der diese untere Schranke erreicht oder ob weitere Forschung erforderlich ist, um effizientere Algorithmen zu entwickeln.

Gibt es einen deterministischen adaptiven Algorithmus, der jeden Graphen mit maximalem Grad ∆ mit o(∆3 log(n/∆)) Abfragen rekonstruiert?

Die Forschung hat gezeigt, dass für deterministische adaptive Algorithmen, die Graphen rekonstruieren, eine untere Schranke von Ω(∆3 log(n/∆)) existiert. Diese untere Schranke legt nahe, dass es schwierig sein könnte, einen deterministischen adaptiven Algorithmus zu finden, der jeden Graphen mit maximalem Grad ∆ mit weniger als o(∆3 log(n/∆)) Abfragen korrekt rekonstruiert. Es bleibt eine offene Frage, ob es einen solchen Algorithmus gibt, der diese untere Schranke erreicht oder ob weitere Forschung erforderlich ist, um effizientere Algorithmen zu entwickeln.