Core Concepts
Gerichtete azyklische planare Graphen haben eine durch eine Konstante beschränkte Stapelnummer.
Abstract
Die Kernaussage des Artikels ist, dass gerichtete azyklische planare Graphen eine durch eine Konstante beschränkte Stapelnummer haben. Dies wird wie folgt begründet:
Der Artikel führt zunächst die Konzepte der Stapelnummer und der Verdrehungszahl für gerichtete azyklische Graphen ein. Es wird gezeigt, dass es Familien von planaren gerichteten azyklischen Graphen mit unbeschränkter Stapelnummer gibt.
Anschließend wird das Konzept der gerichteten H-Partitionen eingeführt. Dies ist ein neues strukturelles Werkzeug, das es ermöglicht, die Stapelnummer eines Graphen G in Abhängigkeit von der Stapelnummer eines Quotienten-Graphen H und der Schnittüberdeckungszahl der Partition zu beschreiben.
Mit Hilfe der gerichteten H-Partitionen wird gezeigt, dass die Stapelnummer von block-monotonen planaren gerichteten azyklischen Graphen durch eine Konstante beschränkt ist.
Schließlich wird bewiesen, dass jeder planare gerichtete azyklische Graph eine block-monotone Struktur aufweist. Daraus folgt, dass die Stapelnummer aller planaren gerichteten azyklischen Graphen durch eine Konstante beschränkt ist.
Stats
Für jeden Graphen G gilt: sn(G) ≥ tn(G), wobei tn(G) die minimale Verdrehungszahl über alle topologischen Ordnungen von G ist.
Für jeden Graphen G mit Verdrehungszahl k gilt: sn(G) ≤ 2k log2(k) + 2k log2(log2(k)) + 10k.
Quotes
"Der Stapelnummer ist auch als Buchrückendicke oder Seitenzahl bekannt, insbesondere in der älteren Literatur. In den letzten Jahren scheint sich der Begriff Stapelnummer gegenüber den anderen durchzusetzen, da er die Eigenschaft des First-In-Last-Out explizit zum Ausdruck bringt, die mit verwandten Konzepten wie Schlangenlayouts übereinstimmt."
"Offensichtlich ist für jedes k der Graph Gk planar. Darüber hinaus ist Gk 2-degeneriert und hat eine Baumweite von höchstens 3. Daher zeigt diese Familie von DAGs, dass die Stapelnummer nicht innerhalb der Klasse aller planaren gerichteten azyklischen Graphen beschränkt ist; nicht einmal innerhalb derer, die 2-degeneriert sind und eine Baumweite von höchstens 3 haben (sogar eine Pfadweite von höchstens 3)."