Core Concepts
Die Arbeit untersucht verallgemeinerte Automaten (im Sinne von Adámek-Trnková) in der Kategorie der (mengenwertigen) kombinatorischen Spezies von Joyal und analysiert als wichtigen Zwischenschritt Koalgebren für den Ableitungsfunktor ∂und den 'Euler-Homogenitätsoperator' L ◦∂, die aus der Adjunktion L ⊣∂⊣R entstehen.
Abstract
Die Arbeit beginnt mit einer Einführung in die Theorie der kombinatorischen Spezies, die als Kategorifizierung der Theorie der erzeugenden Funktionen entstanden ist. Die Kategorie Spc der Spezies ist ein Prägarbentopos, der mit einer Vielzahl von eng miteinander verknüpften monodialen Strukturen und einer Differentialstruktur ausgestattet ist. Diese Reichhaltigkeit impliziert, dass die Verwendung von Spc als Basisumgebung für monadische/funktionale Automaten zu einer interessanten Theorie führt, die auf einer hohen Abstraktionsebene "stabil unter kleinen Störungen" ist.
Die Arbeit untersucht dann die fibratorischen Eigenschaften der Konstruktion MlyK, die zu einer Zwei-Seiten-Faserung Cat(K, K) ←M
l
yK →K führt, wobei die Reindexierungen interessante Eigenschaften aufweisen. Insbesondere wird gezeigt, dass wenn K ein monodialer Differentialring im Sinne von [86] ist, dann sind auch M
l
yK und M
reK differentielle 2-Ringe.
Schließlich wendet sich die Arbeit dem speziellen Fall zu, wo K die Kategorie Spc der Spezies ist. Aufgrund ihrer Struktur als differentieller 2-Ring sind wir besonders an der Untersuchung von differentiellen Dynamiken interessiert, d.h. an Kategorien MlySpc(F, B), bei denen der Dynamikgenerator F durch den Ableitungsfunktor induziert ist. Hier spielen die Adjunktionen L ⊣∂⊣R eine zentrale Rolle, da sie vier Funktoren erzeugen, die eine Komonade-Monade-Adjunktion L∂⊣R∂und eine Monade-Komonade-Adjunktion ∂L ⊣∂R bilden.
Stats
Die Kategorie Spc der kombinatorischen Spezies ist ein freier, vollständig abgeschlossener 2-Ring auf einem Singleton.
Die Ableitung ∂: Spc →Spc hat sowohl einen linken als auch einen rechten Adjungierten.
Die Kategorie SpcL der L-Moduln ist äquivalent zur Kategorie der Eilenberg-Moore-Algebren für den Monade L ⊗Day
und zur Kategorie der Koelienberg-Moore-Koalgebren für den Komonade {L, −}Day.
Quotes
"Die Kategorie Spc der Spezies ist ein Prägarbentopos, der mit einer Vielzahl von eng miteinander verknüpften monodialen Strukturen und einer Differentialstruktur ausgestattet ist."
"Wenn K ein monodialer Differentialring im Sinne von [86] ist, dann sind auch M
l
yK und M
reK differentielle 2-Ringe."
"Die Kategorie SpcL der L-Moduln ist äquivalent zur Kategorie der Eilenberg-Moore-Algebren für den Monade L ⊗Day
und zur Kategorie der Koelienberg-Moore-Koalgebren für den Komonade {L, −}Day."