Core Concepts
In vielen Fällen, einschließlich des homogenen Gewichts, versagen die MacWilliams-Identitäten für Gewichtsverteilungen, da es zwei lineare Codes mit derselben Gewichtsverteilung gibt, deren Dualcodes unterschiedliche Gewichtsverteilungen haben.
Abstract
Der Artikel untersucht die Gewichtsverteilungen von Gewichten mit maximaler Symmetrie über endlichen Kettenringen und Matrizenringen über endlichen Körpern.
Der Hauptgrund für das Versagen der MacWilliams-Identitäten ist, dass es lineare Codes C und D gibt, für die die Gewichtsverteilungen wweC und wweD gleich sind, aber die Gewichtsverteilungen wweC⊥ und wweD⊥ der Dualcodes verschieden sind.
Über endlichen Kettenringen kann dies dadurch erreicht werden, dass man verschiedene Moduln als Definitionsbereiche für die Homomorphismen verwendet, die die linearen Codes definieren. Über Matrizenringen kann man die Gewichte der Orbits so permutieren, dass die Summen in der Gewichtsverteilung gleich bleiben.
Um zu zeigen, dass wweC⊥ ≠ wweD⊥, reicht es aus, zu zeigen, dass Aj(C⊥) ≠ Aj(D⊥) für ein geeignetes j > 0. Dies lässt sich oft effektiv anhand der Beiträge von Singletons zum Dualcode zeigen.
Stats
Die Anzahl der Codewörter v ∈ C⊥ mit Gewicht w(v) = j ist Aj(C⊥).
Die Anzahl der Singletons in C⊥ mit Gewicht w(v) = j ist Asing
j (C⊥).
Quotes
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