Lie 군 상에서의 제어 수축 측도를 통한 추적 제어

Core Concepts

Lie 군 상에서 제어 수축 측도(CCM) 접근법을 확장하여 임의의 실행 가능한 궤적을 지수적으로 안정화할 수 있는 제어기를 설계하는 방법을 제안한다.

Abstract

이 논문은 제어 수축 측도(CCM) 접근법을 Lie 군 상의 시스템으로 확장하는 방법을 제안한다.
먼저, Lie 군을 Euclidean 공간에 내재된 제약 집합으로 간주하고, CCM의 존재를 위한 충분 조건을 제시한다. 이를 통해 Lie 군 상에서 CCM을 찾는 문제를 볼록 최적화 문제로 변환할 수 있음을 보인다.
또한 표준 CCM 방법에서는 온라인 구현 시 매 샘플링 시간마다 측지선을 계산해야 하는 문제가 있다. 이를 해결하기 위해 다른 유형의 곡선을 사용하여 측지선 계산을 피할 수 있는 방법을 제안한다. 이를 통해 안정성을 보장하면서도 더 쉬운 솔루션을 제공할 수 있다.
마지막으로, 특히 행렬 Lie 군(직접 곱으로 표현되는 벡터 공간 포함)에 대한 구체적인 결과를 제시한다. 이를 통해 Lie 군 상의 궤적 추적 제어 문제에 대한 실용적인 적용이 가능해진다.

Stats

Lie 군 상에서 제어 수축 측도(CCM)를 찾는 문제는 볼록 최적화 문제로 변환할 수 있다.

Quotes

제어 수축 측도(CCM) 접근법은 Euclidean 공간에 국한되어 있었지만, 본 논문에서는 이를 Lie 군 상의 시스템으로 확장하였다.
Lie 군을 Euclidean 공간에 내재된 제약 집합으로 간주하여 CCM의 존재를 위한 충분 조건을 제시하였다.
표준 CCM 방법의 단점인 온라인 측지선 계산 문제를 해결하기 위해 다른 유형의 곡선을 사용하는 방법을 제안하였다.

Key Insights Distilled From

Control contraction metrics on Lie groups

by Dongjun Wu,B... at arxiv.org 03-25-2024

https://arxiv.org/pdf/2403.15264.pdf

Deeper Inquiries

질문 1

추상적인 매니폴드에 대한 CCM은 매우 다양한 기하학적 구조를 다룰 수 있습니다. 이러한 매니폴드는 유클리드 공간으로의 즉시적인 포함이 명확하지 않은 경우에도 적용될 수 있습니다. 이를 위해, 매니폴드 M에 대한 Riemannian metric g0가 주어졌을 때, CCM g를 찾는 것이 중요합니다. 이때, g는 다음 조건을 만족해야 합니다. 먼저, Killing fields인 bi에 대한 조건을 충족시키는 것이 중요합니다. 또한, 두 번째로는 미분 가능한 함수 ρ(x, t)를 찾아서 특정 조건을 만족시키는 것이 필요합니다. 이러한 방법을 통해 추상적인 매니폴드에 대한 CCM을 확장할 수 있습니다.

질문 2

Lie 군의 특수한 구조를 더 잘 활용하기 위해서는 Lie 군의 특성을 고려하여 CCM 기반 제어기를 설계해야 합니다. Lie 군은 특정한 대칭성과 구조를 가지고 있으며, 이를 활용하여 제어기를 설계함으로써 더 효율적인 제어가 가능합니다. 또한 Lie 군의 특수한 성질을 고려하여 CCM을 Lie 군에 맞게 조정하고, Lie 군의 특성을 최대한 활용하여 제어기를 최적화할 수 있습니다.

질문 3

제안된 CCM 기반 제어기의 강인성 및 적응성을 향상시키기 위해서는 몇 가지 방법이 있습니다. 먼저, 제어기의 안정성을 보장하기 위해 더 강력한 CCM을 찾는 것이 중요합니다. 또한, 제어기의 적응성을 향상시키기 위해 새로운 방법론을 도입하거나 기존 방법을 개선할 수 있습니다. 더불어, 제어기의 성능을 향상시키기 위해 새로운 제어 알고리즘을 적용하거나 제어기의 구조를 최적화하는 방법을 고려할 수 있습니다. 이러한 방법을 통해 CCM 기반 제어기의 강인성과 적응성을 향상시킬 수 있습니다.