Lie 군 상의 효율적인 도달 가능 집합 계산: Lie 대수 단조성과 접선 구간 활용

Core Concepts

Lie 군 상의 제어 시스템에 대해 단조성 이론과 기하학적 수치 적분 기법을 활용하여 효율적으로 도달 가능 집합을 과대 근사하는 방법을 제안한다.

Abstract

이 논문에서는 Lie 군 상의 제어 시스템에 대해 효율적으로 도달 가능 집합을 계산하는 방법을 제안한다.

먼저 Lie 군 상의 제어 시스템을 Lie 대수 상의 등가 시스템으로 변환한다. 이때 Lie 대수 상의 시스템은 Lie 대수의 단조성 여부에 따라 다르게 다룬다.

단조성이 성립하는 경우, Lie 대수 상에서 두 개의 궤적을 시뮬레이션하여 Lie 군 상의 도달 가능 집합을 과대 근사할 수 있다. 단조성이 성립하지 않는 경우, 단순 단조 시스템으로 임베딩하여 유사한 방식으로 도달 가능 집합을 계산한다.

이때 Lie 대수 상의 구간을 Lie 군 상의 실 집합으로 매핑하는 지수함수를 활용한다. 또한 Baker-Campbell-Hausdorff 공식을 이용하여 구간 포함 함수를 구함으로써, 임의의 시간 구간에 대해 도달 가능 집합을 계산할 수 있다.

이러한 방법론을 토러스 상의 합의 문제와 SO(3) 상의 자세 제어 문제에 적용하여 그 효과를 보여준다.

Stats

Lie 군 상의 제어 시스템은 다음과 같이 표현된다:
˙
x = (dLx)e(A(x, u)) = xA(x, u)
여기서 x는 Lie 군 상의 상태, u는 입력, A는 Lie 대수로의 사영을 나타낸다.
Lie 대수 상의 등가 시스템은 다음과 같다:
˙
Θ = dexp−1
Θ (A(x, u))
여기서 Θ는 Lie 대수 상의 상태이고, dexp−1은 지수함수의 역미분이다.

Quotes

"Monotone systems theory와 mixed monotone systems theory를 활용하면 시스템의 두 개의 극단적인 궤적만 시뮬레이션하여 도달 가능 집합을 계산할 수 있다."
"Lie 군 상의 제어 시스템을 Lie 대수 상의 등가 시스템으로 변환하면 기존의 구간 도달 가능 집합 계산 기법을 적용할 수 있다."
"Baker-Campbell-Hausdorff 공식을 이용하여 Lie 대수 상의 구간을 재중심화함으로써, 임의의 시간 구간에 대해 도달 가능 집합을 계산할 수 있다."

Key Insights Distilled From

Efficient Reachable Sets on Lie Groups Using Lie Algebra Monotonicity and Tangent Intervals

by Akash Harapa... at arxiv.org 03-26-2024

https://arxiv.org/pdf/2403.16214.pdf

Deeper Inquiries

Lie 군 상의 제어 시스템에 대해 다른 기하학적 구조를 활용한 도달 가능 집합 계산 방법은 무엇이 있을까

Lie 군 상의 제어 시스템에 대해 다른 기하학적 구조를 활용한 도달 가능 집합 계산 방법은 무엇이 있을까?
Lie 군 상의 제어 시스템에서 다른 기하학적 구조를 활용하여 도달 가능 집합을 계산하는 방법 중 하나는 Lie 대수의 모노토닉성(monotonicity)을 활용하는 것입니다. 이 방법은 Lie 군 상의 시스템을 Lie 대수 상의 동등한 시스템으로 변환하여, Lie 대수에서의 간단한 모노토닉성을 통해 도달 가능 집합을 추정하는 것입니다. 또한, 지수 함수를 통해 Lie 군 상의 실제 집합을 설명하는 Lie 대수 상의 간격(interval)을 고려하는 방법도 있습니다. 이를 통해 Lie 대수에서의 계산 기법을 Lie 군 상의 도달 가능 집합 추정에 적용할 수 있습니다.

단조성이 성립하지 않는 Lie 군 상의 제어 시스템에 대해 더 정확한 도달 가능 집합 계산 방법은 무엇일까

단조성이 성립하지 않는 Lie 군 상의 제어 시스템에 대해 더 정확한 도달 가능 집합 계산 방법은 무엇일까?
단조성이 성립하지 않는 Lie 군 상의 제어 시스템에 대해 더 정확한 도달 가능 집합 계산 방법은 혼합 모노토닉 임베딩 시스템을 활용하는 것입니다. 이 방법은 Lie 대수에서의 시스템을 더 높은 차원의 임베딩 시스템으로 변환하여, 단조성을 보장하는 방법으로 도달 가능 집합을 계산합니다. 이를 통해 단조성이 성립하지 않는 Lie 군 상의 시스템에서도 보다 정확한 도달 가능 집합을 추정할 수 있습니다.

Lie 군 상의 제어 시스템과 미분 양의성(differential positivity) 사이의 관계는 어떠한가

Lie 군 상의 제어 시스템과 미분 양의성(differential positivity) 사이의 관계는 어떠한가?
Lie 군 상의 제어 시스템과 미분 양의성 사이에는 유사한 특성이 존재합니다. 미분 양의성은 제어 시스템이 특정 콘(cone)을 보존하는 성질을 가지는 반면, Lie 군 상의 제어 시스템에서는 모노토닉성을 통해 도달 가능 집합을 추정합니다. 따라서, Lie 군 상의 제어 시스템에서도 미분 양의성과 유사한 특성을 활용하여 도달 가능 집합을 계산할 수 있습니다. 이러한 관계를 통해 Lie 군 상의 제어 시스템에서도 미분 양의성의 이점을 활용할 수 있습니다.