Die Pseudoinverse von A = CR ist nicht immer A+ = R+C+

Core Concepts

Die Pseudoinverse A+ eines Matrixprodukts A = CR ist nicht immer gleich dem Produkt der Pseudoinversen R+C+. Es gibt verschiedene Formeln für die Berechnung der Pseudoinversen, die je nach den Eigenschaften der Matrizen C und R korrekt oder nicht korrekt sind.

Abstract

Der Artikel behandelt die Berechnung der Pseudoinversen einer Matrix A, die als Produkt A = CR dargestellt werden kann. Es werden drei verschiedene Formeln für die Pseudoinverse A+ präsentiert:

A+ = R+C+ - Diese Formel ist nur korrekt, wenn C unabhängige Spalten und R unabhängige Zeilen hat.
A+ = (C+CR)+(CRR+)+ - Diese Formel ist immer korrekt.
A+ = (PT CR)+PT C RQ(CRQ)+ - Diese Formel ist nur korrekt, wenn die Rangbedingungen rank(PT A) = rank(AQ) = rank(A) erfüllt sind.

Der Artikel zeigt anhand eines Beispiels, dass die Aussage im Titel nicht allgemeingültig ist. Es werden die vier fundamentalen Unterräume von A und A+ erläutert und die Bedingungen für die Gültigkeit der Formeln hergeleitet. Außerdem wird ein randomisierter Algorithmus zur Approximation der Pseudoinversen vorgestellt, der auf der dritten Formel basiert.

Stats

Die Pseudoinverse von A = CR ist nicht immer A+ = R+C+.
Die Pseudoinverse A+ kann stattdessen berechnet werden als A+ = (C+CR)+(CRR+)+ oder A+ = (PT CR)+PT C RQ(CRQ)+, wenn die entsprechenden Rangbedingungen erfüllt sind.

Quotes

"Die Aussage im Titel ist nicht allgemeingültig, wie das folgende Beispiel zeigt:"
"Theorem 2 korrigiert den Fehler, wie das folgende Beispiel zeigt:"

Key Insights Distilled From

The Pseudoinverse of $A=CR$ is $A^+=R^+C^+$ (?)

by Mich... at arxiv.org 03-28-2024

https://arxiv.org/pdf/2305.01716.pdf

Deeper Inquiries

Wie können die Bedingungen für die Gültigkeit der verschiedenen Formeln zur Berechnung der Pseudoinversen in der Praxis überprüft werden?

Um die Bedingungen für die Gültigkeit der verschiedenen Formeln zur Berechnung der Pseudoinversen in der Praxis zu überprüfen, können folgende Schritte unternommen werden:

Überprüfung der Rangbedingungen: Für die Formeln zur Pseudoinversen, wie in Theorem 1, 2 und 3 dargelegt, ist es entscheidend, die Rangbedingungen zu überprüfen. Dies kann durch die Berechnung der Ränge von (P^TA), (AQ) und (A) erfolgen, um sicherzustellen, dass sie übereinstimmen.

Berechnung der Teilräume: Es ist wichtig, die Teilräume der beteiligten Matrizen zu analysieren, um sicherzustellen, dass die Bedingungen für die Pseudoinversen erfüllt sind. Dies beinhaltet die Überprüfung der Spalten- und Zeilenunabhängigkeit von (C) und (R) sowie die entsprechenden Projektionen auf die Teilräume.

Randomisierte Überprüfung: Bei der Anwendung von Theorem 3 zur randomisierten Approximation der Pseudoinversen können zufällige Matrizen (P) und (Q) verwendet werden. Die Gültigkeit kann durch die Berechnung und Überprüfung der Ränge von (P^TA), (AQ) und (A) sowie die Anwendung der Formel überprüft werden.

Durch diese praktischen Überprüfungen kann die Korrektheit und Anwendbarkeit der verschiedenen Pseudoinversen-Formeln in realen Szenarien sichergestellt werden.

Welche Auswirkungen haben die unterschiedlichen Formeln auf die numerische Stabilität und Genauigkeit der berechneten Pseudoinversen?

Die verschiedenen Formeln zur Berechnung der Pseudoinversen haben unterschiedliche Auswirkungen auf die numerische Stabilität und Genauigkeit der Ergebnisse:

Theorem 1: Diese Formel erfordert unabhängige Spalten in (C) und unabhängige Zeilen in (R). Sie kann numerisch stabil sein, wenn diese Bedingungen erfüllt sind, aber in anderen Fällen kann sie zu Ungenauigkeiten führen.

Theorem 2: Diese Formel ist immer korrekt und bietet eine zuverlässige Methode zur Berechnung der Pseudoinversen. Sie kann numerisch stabile und genaue Ergebnisse liefern, unabhhängig von den Eigenschaften von (C) und (R).

Theorem 3: Die randomisierte Formel kann in Fällen, in denen die Bedingungen erfüllt sind, eine effiziente und akzeptable Näherung der Pseudoinversen liefern. Die Genauigkeit und Stabilität hängen jedoch von der Wahl der zufälligen Matrizen (P) und (Q) ab.

Insgesamt können die verschiedenen Formeln je nach den Eigenschaften der Ausgangsmatrix und der Anwendungsanforderungen unterschiedliche Auswirkungen auf die numerische Stabilität und Genauigkeit der berechneten Pseudoinversen haben.

Gibt es weitere Anwendungsfälle, in denen die randomisierte Approximation der Pseudoinversen nach Theorem 3 von Vorteil sein könnte?

Ja, es gibt verschiedene Anwendungsfälle, in denen die randomisierte Approximation der Pseudoinversen gemäß Theorem 3 von Vorteil sein könnte:

Große Datensätze: Bei sehr großen Matrizen kann die Berechnung der exakten Pseudoinversen zeitaufwändig sein. Die randomisierte Methode kann eine schnellere Alternative bieten, insbesondere wenn die Genauigkeit nicht entscheidend ist.

Rauschunterdrückung: In Situationen, in denen die Daten Rauschen enthalten und eine exakte Pseudoinverse zu Überanpassungen führen könnte, kann die randomisierte Approximation eine robustere Lösung bieten.

Komprimierung: Bei der Komprimierung von Daten oder der Reduzierung der Dimensionalität kann die randomisierte Methode eine effiziente Möglichkeit sein, eine Näherung der Pseudoinversen zu erhalten, die für die spezifische Anwendung ausreichend ist.

In diesen Szenarien kann die randomisierte Approximation der Pseudoinversen eine praktische und effektive Lösung darstellen, um den Berechnungsaufwand zu reduzieren und dennoch akzeptable Ergebnisse zu erzielen.