Schätzung des Risikos in einem Markov-Kostenprozess: Untere und obere Schranken

Core Concepts

Wir untersuchen die Schätzung von Risikokennzahlen wie Varianz, Value-at-Risk (VaR) und Conditional Value-at-Risk (CVaR) des unendlichen Zeithorizonts diskontierter Kosten in einem Markov-Kostenprozess. Wir leiten untere Schranken für die erforderliche Stichprobenkomplexität zur ǫ-genauen Schätzung dieser Risikokennzahlen her und zeigen, dass diese Schranken optimal sind. Außerdem präsentieren wir obere Schranken für die CVaR- und Varianzschätzung, die unsere unteren Schranken bis auf logarithmische Faktoren erreichen.

Abstract

In dieser Arbeit untersuchen die Autoren das Problem der Schätzung von Risikokennzahlen des unendlichen Zeithorizonts diskontierter Kosten in einem Markov-Kostenprozess. Die betrachteten Risikokennzahlen sind Varianz, Value-at-Risk (VaR) und Conditional Value-at-Risk (CVaR).
Zunächst zeigen die Autoren, dass die ǫ-genaue Schätzung einer dieser Risikokennzahlen, sowohl in Erwartung als auch mit hoher Wahrscheinlichkeit, mindestens Ω(1/ǫ^2) Stichproben erfordert. Dieser untere Schranke ist optimal.
Anschließend verwenden die Autoren ein Abschneidungsschema, um eine obere Schranke für die CVaR- und Varianzschätzung herzuleiten. Diese obere Schranke stimmt bis auf logarithmische Faktoren mit der unteren Schranke überein.
Schließlich diskutieren die Autoren eine Erweiterung ihres Schätzverfahrens, das allgemeinere Risikokennzahlen abdeckt, die eine gewisse Lipschitz-Stetigkeit erfüllen. Dazu gehören spektrale Risikokennzahlen und nutzungsbasierte Ausfallrisiken.
Insgesamt liefert diese Arbeit die ersten bekannten unteren und oberen Schranken für die Schätzung beliebiger Risikokennzahlen über den Erwartungswert hinaus in einem Markovschen Kontext.

Stats

Die Kosten sind durch |f(s)| ≤ K für alle s ∈ S beschränkt.
Der Diskontfaktor ist γ ∈ [0, 1).
Die Stichprobenkomplexität für eine ǫ-genaue Schätzung beträgt Ω(1/ǫ^2) Stichproben.
Die obere Schranke für die CVaR- und Varianzschätzung beträgt ˜O(1/ǫ^2) Stichproben.

Quotes

"Wir untersuchen die Schätzung von Risikokennzahlen wie Varianz, Value-at-Risk (VaR) und Conditional Value-at-Risk (CVaR) des unendlichen Zeithorizonts diskontierter Kosten in einem Markov-Kostenprozess."
"Wir leiten untere Schranken für die erforderliche Stichprobenkomplexität zur ǫ-genauen Schätzung dieser Risikokennzahlen her und zeigen, dass diese Schranken optimal sind."
"Außerdem präsentieren wir obere Schranken für die CVaR- und Varianzschätzung, die unsere unteren Schranken bis auf logarithmische Faktoren erreichen."

Key Insights Distilled From

Risk Estimation in a Markov Cost Process

by Gugan Thoppe... at arxiv.org 04-12-2024

https://arxiv.org/pdf/2310.11389.pdf

Deeper Inquiries

Wie lassen sich die Ergebnisse dieser Arbeit auf andere Risikokennzahlen außer VaR, CVaR und Varianz erweitern

Die Ergebnisse dieser Arbeit können auf andere Risikokennzahlen erweitert werden, die eine Lipschitz-Stetigkeitseigenschaft erfüllen. Lipschitz-Risikomaße wie das optimierte Sicherheitsäquivalent (OCE) Risiko, spektrales Risikomaß und nutzenbasiertes Fehlerrisiko gehören zu dieser Klasse. Durch Anpassung des Schätzverfahrens können diese Risikomaße ebenfalls geschätzt werden. Die Lipschitz-Stetigkeit gewährleistet, dass kleine Änderungen in der Verteilung der Kosten zu kleinen Änderungen im Risikomaß führen, was die Anpassung des Schätzverfahrens ermöglicht.

Welche praktischen Anwendungen könnten von den in dieser Arbeit entwickelten Schätzverfahren profitieren

Die in dieser Arbeit entwickelten Schätzverfahren könnten in verschiedenen praktischen Anwendungen von Nutzen sein. Ein Beispiel wäre im Finanzbereich, wo Risikomaße wie CVaR und VaR eine wichtige Rolle bei der Bewertung von Anlageportfolios spielen. Durch die Anwendung der entwickelten Schätzverfahren könnten Finanzinstitute und Investoren genauere Schätzungen ihrer Risiken erhalten, was zu fundierteren Anlageentscheidungen führen könnte.
Ein weiteres Anwendungsgebiet könnte im Bereich des Risikomanagements von Unternehmen liegen. Durch die Schätzung von Risikomaßen wie CVaR können Unternehmen besser verstehen, wie sich verschiedene Risikofaktoren auf ihre finanzielle Stabilität auswirken. Dies könnte dazu beitragen, Risiken zu identifizieren, zu bewerten und entsprechende Maßnahmen zur Risikominderung zu ergreifen.

Wie könnte man die Lücke zwischen den unteren und oberen Schranken in Bezug auf die Abhängigkeit von der Fehlerwahrscheinlichkeit δ weiter schließen

Um die Lücke zwischen den unteren und oberen Schranken in Bezug auf die Abhängigkeit von der Fehlerwahrscheinlichkeit δ weiter zu schließen, könnten verschiedene Ansätze verfolgt werden. Eine Möglichkeit wäre die Verfeinerung der Analyse und die Anwendung fortschrittlicherer Techniken zur Ableitung der oberen Schranken. Dies könnte die Identifizierung von spezifischen Bedingungen oder Annahmen ermöglichen, die zu einer genaueren Schätzung der Fehlerwahrscheinlichkeit führen.
Darüber hinaus könnte die Integration von zusätzlichen Variablen oder Faktoren in das Schätzverfahren dazu beitragen, die Abhängigkeit von δ weiter zu reduzieren. Durch die Berücksichtigung von weiteren Einflussfaktoren könnte eine präzisere Schätzung der Fehlerwahrscheinlichkeit erreicht werden. Dies könnte durch eine umfassendere Modellierung des Risikos und der Schätzverfahren erreicht werden.