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Effiziente Berechnung der Laplace-Approximation in Bayesischen Neuronalen Netzen ohne Hessische Matrix


Core Concepts
Die Laplace-Approximation der Bayesschen Posteriori ist eine effiziente Methode zur Quantifizierung der Unsicherheit in Bayesischen Neuronalen Netzen. Die zentrale Herausforderung ist jedoch die Berechnung und Invertierung der Hessischen Matrix des logarithmischen Posteriors, was bei hochdimensionalen Parametervektoren sehr rechenintensiv sein kann. In dieser Arbeit wird eine alternative Methode, die Hessian-freie Laplace-Approximation (HFL), vorgestellt, die diese Berechnung umgeht, indem sie die Varianz der Vorhersagen direkt aus der Änderung der Netzwerkausgaben bei Regularisierung ableitet. Unter den Annahmen der Laplace-Approximation zeigt HFL, dass diese Varianz der Varianz der Laplace-Approximation entspricht und effizient in einem vortrainierten Netzwerk berechnet werden kann.
Abstract
Die Laplace-Approximation ist eine effiziente Methode zur Quantifizierung der Unsicherheit in Bayesischen Neuronalen Netzen. Sie basiert auf einer Gaußschen Approximation der Posteriori-Verteilung um den Maximum-a-posteriori-Schätzer (MAP). Ein zentraler Berechnungsschritt ist dabei die Berechnung und Invertierung der Hessischen Matrix des logarithmischen Posteriors, was bei hochdimensionalen Parametervektoren sehr rechenintensiv sein kann. In dieser Arbeit wird eine alternative Methode, die Hessian-freie Laplace-Approximation (HFL), vorgestellt. Anstatt die Hessische Matrix zu berechnen, schätzt HFL die Varianz der Vorhersagen direkt aus der Änderung der Netzwerkausgaben bei Regularisierung. Unter den Annahmen der Laplace-Approximation zeigt die Arbeit, dass diese Varianz der Varianz der Laplace-Approximation entspricht. Der Kernpunkt von HFL ist, dass anstatt des üblichen MAP-Schätzers ein zweiter Punkt-Schätzer, der "Vorhersage-regularisierte MAP", benötigt wird. Dieser wird durch Hinzufügen eines Regularisierungsterms proportional zur Netzwerkausgabe zum Trainingsobjektiv erhalten. Die Ableitung dieser Vorhersage-regularisierten Lösung nach dem Regularisierungsparameter liefert dann die gesuchte Varianz. Darüber hinaus wird eine Vortrainings-Variante von HFL entwickelt, die es ermöglicht, die Varianz-Schätzung für eine Vielzahl von Evaluierungspunkten effizient zu berechnen, ohne für jeden Punkt eine separate Optimierung durchführen zu müssen. Die experimentellen Ergebnisse zeigen, dass HFL vergleichbare Leistung wie exakte und approximative Hessische Matrizen erzielt, insbesondere bei der Quantifizierung der "In-Between"-Unsicherheit.
Stats
"Für hochdimensionale θ - üblich in tiefen neuronalen Netzen - sind diese Schritte ein prohibitiv rechenintensiver Flaschenhals selbst für eine approximative Posteriori." "Berechnung und Invertierung von P sind die zentralen Schritte bei der Durchführung der Laplace-Approximation."
Quotes
"Die Laplace-Approximation (LA) der Bayesschen Posteriori ist eine Gaußsche Verteilung, die um den Maximum-a-posteriori-Schätzer zentriert ist." "Für hochdimensionale θ - üblich in tiefen neuronalen Netzen - sind diese Schritte ein prohibitiv rechenintensiver Flaschenhals selbst für eine approximative Posteriori."

Key Insights Distilled From

by James McIner... at arxiv.org 03-19-2024

https://arxiv.org/pdf/2403.10671.pdf
Hessian-Free Laplace in Bayesian Deep Learning

Deeper Inquiries

Wie könnte man die Annahmen der Laplace-Approximation in Bayesischen Neuronalen Netzen erweitern oder abschwächen, um die Unsicherheitsquantifizierung weiter zu verbessern?

Um die Unsicherheitsquantifizierung in Bayesischen Neuronalen Netzen weiter zu verbessern, könnten die Annahmen der Laplace-Approximation erweitert oder abgeschwächt werden. Eine Möglichkeit zur Verbesserung könnte darin bestehen, die Annahme der Lokalität der Approximation zu erweitern, um auch globale Strukturen zu berücksichtigen. Dies könnte durch die Integration von Techniken wie Monte Carlo-Dropout oder Ensemble-Methoden erreicht werden, um die Unsicherheit auf verschiedene Weisen zu erfassen und zu quantifizieren. Des Weiteren könnte die Annahme der Normalverteilung für die Posterior-Approximation erweitert werden, um auch andere Verteilungen zu berücksichtigen, die besser zur Modellierung der Unsicherheit geeignet sind. Dies könnte die Genauigkeit der Unsicherheitsquantifizierung verbessern, insbesondere in Fällen, in denen die Unsicherheit nicht normalverteilt ist.

Wie könnte man die Hessian-freie Laplace-Approximation nutzen, um die Exploration und Experimentauswahl in Bayesischen Lernprozessen zu steuern?

Die Hessian-freie Laplace-Approximation bietet eine effiziente Möglichkeit, die Unsicherheit in Bayesischen Lernprozessen zu quantifizieren, ohne die Berechnung des Hesse'schen Matrix zu erfordern. Dies kann genutzt werden, um die Exploration und Experimentauswahl zu steuern, indem die Unsicherheit bei der Entscheidungsfindung berücksichtigt wird. Durch die Verwendung der Hessian-freien Laplace-Approximation können Entscheidungen basierend auf der Unsicherheit getroffen werden. Zum Beispiel könnten Bereiche mit hoher Unsicherheit priorisiert werden, um gezielt neue Datenpunkte zu sammeln, die zur Verbesserung des Modells beitragen. Dies kann dazu beitragen, das Modell effizienter anzupassen und die Genauigkeit der Vorhersagen zu verbessern. Darüber hinaus kann die Hessian-freie Laplace-Approximation verwendet werden, um die Unsicherheit bei der Auswahl von Experimenten zu berücksichtigen. Indem die Unsicherheit in den Vorhersagen des Modells quantifiziert wird, können Experimente gezielt so ausgewählt werden, dass sie die größte Informationsgewinnung bieten. Dies kann dazu beitragen, den Lernprozess zu optimieren und die Effizienz der Modellanpassung zu steigern.
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