Effiziente und datenschutzfreundliche Schätzung des Mittelwerts ohne private Kovarianzschätzung

Core Concepts

Zwei stichprobeneffiziente differentiell private Schätzer für den Mittelwert von d-dimensionalen (sub)Gauß-Verteilungen mit unbekannter Kovarianz. Die Schätzer liefern eine Approximation des Mittelwerts, die in Mahalanobis-Distanz nahe am wahren Mittelwert liegt, ohne dass die Kovarianz selbst geschätzt werden muss.

Abstract

Die Arbeit präsentiert zwei differentiell private Schätzer für den Mittelwert von d-dimensionalen (sub)Gauß-Verteilungen mit unbekannter Kovarianz.
Der erste Schätzer basiert auf dem Exponentialmechanismus, der einen Punkt mit möglichst großer Tukey-Tiefe auswählt. Um die Differentialität zu gewährleisten, wird vor dem Hauptmechanismus geprüft, ob der Datensatz "sicher" ist, d.h. ob die Verteilung der Ausgabe auf benachbarten Datensätzen ähnlich ist. Es wird gezeigt, dass typische Gauß-Daten weit von unsicheren Datensätzen entfernt sind und der Schätzer daher genau und differentiell privat ist.
Der zweite Schätzer addiert zum empirischen Mittelwert Rauschen, dessen Varianz an die empirische Kovarianz angepasst ist, ohne die Kovarianz selbst zu veröffentlichen. Dieser Schätzer funktioniert auch für allgemeinere subgaussische Verteilungen, allerdings mit einer etwas schlechteren Abhängigkeit vom Privatsphäreparameter.
Beide Schätzer erfordern eine sorgfältige Vorverarbeitung der Daten, um die Differentialität zu gewährleisten.

Stats

Die Stichprobenkomplexität beider Schätzer hängt von der Dimension d, dem Genauigkeitsparameter α und dem Privatsphäreparameter ε ab.

Quotes

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Key Insights Distilled From

Covariance-Aware Private Mean Estimation Without Private Covariance Estimation

by Gavin Brown,... at arxiv.org 03-27-2024

https://arxiv.org/pdf/2106.13329.pdf

Deeper Inquiries

Wie können die vorgestellten Schätzer so modifiziert werden, dass sie auch für andere Verteilungsklassen als (sub)Gauß-Verteilungen funktionieren

Um die vorgestellten Schätzer für andere Verteilungsklassen als (sub)Gauß-Verteilungen anzupassen, könnten verschiedene Ansätze verfolgt werden. Eine Möglichkeit wäre die Verwendung von Score-Funktionen, die speziell auf die Eigenschaften der neuen Verteilungsklasse zugeschnitten sind. Zum Beispiel könnten für schwere Schwerpunkte oder Schwerpunkte mit dickeren Schwänzen spezielle Score-Funktionen entwickelt werden, die diese Merkmale berücksichtigen. Darüber hinaus könnten die Algorithmen so modifiziert werden, dass sie robust gegenüber speziellen Eigenschaften der neuen Verteilungsklasse sind, wie z.B. multimodale Verteilungen oder stark asymmetrische Verteilungen. Eine sorgfältige Analyse der Charakteristika der neuen Verteilungsklasse und eine entsprechende Anpassung der Algorithmen wären erforderlich, um ihre Anwendbarkeit auf diese neuen Szenarien zu gewährleisten.

Welche Einschränkungen ergeben sich für die Kovarianzschätzung, die als Zwischenschritt in vielen differentiell privaten Mittelwertschätzern verwendet wird

Die Einschränkungen für die Kovarianzschätzung, die als Zwischenschritt in vielen differentiell privaten Mittelwertschätzern verwendet wird, liegen hauptsächlich in der hohen Anzahl von erforderlichen Stichproben. In vielen Fällen benötigen die Algorithmen eine große Anzahl von Stichproben, um eine genaue Schätzung der Kovarianzmatrix zu erhalten. Dies kann zu einem erhöhten Rechenaufwand und einer längeren Laufzeit führen. Darüber hinaus kann die Schätzung der Kovarianzmatrix auch von starken Annahmen abhängen, z.B. von a priori Grenzen für die Kovarianzmatrix, was die Anwendbarkeit der Algorithmen auf reale Datensätze einschränken kann. Eine Herausforderung besteht darin, die Genauigkeit der Kovarianschätzung zu verbessern, ohne die Anzahl der erforderlichen Stichproben signifikant zu erhöhen.

Wie können die vorgestellten Algorithmen so weiterentwickelt werden, dass sie neben Differentialität auch Robustheit gegen Ausreißer in den Daten aufweisen

Um die vorgestellten Algorithmen robuster gegen Ausreißer in den Daten zu machen, könnten verschiedene Techniken angewendet werden. Eine Möglichkeit wäre die Integration von robusten Schätzmethoden, die gegenüber Ausreißern stabil sind, in die bestehenden Algorithmen. Dies könnte dazu beitragen, die Genauigkeit der Schätzungen auch bei starken Ausreißern zu gewährleisten. Darüber hinaus könnten spezielle Vorverarbeitungsschritte implementiert werden, um Ausreißer zu identifizieren und zu korrigieren, bevor die Schätzungen durchgeführt werden. Eine Kombination aus robusten Schätzmethoden, Vorverarbeitungstechniken und adaptiven Algorithmen könnte dazu beitragen, die Robustheit der differentiell privaten Schätzungen gegenüber Ausreißern zu verbessern.