Asymptotische Genauigkeit von Spektralalgorithmen bei der Generalisierung

Core Concepts

Der Artikel untersucht den Generalisierungsfehler von Spektralalgorithmen, die durch ein Profil h(λ) spezifiziert sind und sowohl Kernel Ridge Regression (KRR) als auch Gradientenabstieg (GD) als Spezialfälle enthalten. Es werden zwei Datenmodelle betrachtet - ein hochdimensionales Gaußmodell und ein niedrigdimensionales translationsinvariantes Modell. Unter Annahme von Potenzgesetzen für das Spektrum des Kernels und der Zielfunktion werden vollständige Verlustasymptotiken für verrauschte und rauschfreie Beobachtungen hergeleitet. Dabei zeigt sich, dass der Verlust auf bestimmten spektralen Skalen lokalisiert ist, was ein neues Verständnis des KRR-Sättigungsphänomens ermöglicht. Außerdem wird vermutet und für die betrachteten Datenmodelle gezeigt, dass der Verlust in Bezug auf nicht-spektrale Details des Problems universell ist, aber nur im Falle verrauschter Beobachtungen.

Abstract

Der Artikel untersucht den Generalisierungsfehler von Spektralalgorithmen, die durch ein Profil h(λ) spezifiziert sind und sowohl Kernel Ridge Regression (KRR) als auch Gradientenabstieg (GD) als Spezialfälle enthalten. Es werden zwei Datenmodelle betrachtet - ein hochdimensionales Gaußmodell (Wishart-Modell) und ein niedrigdimensionales translationsinvariantes Modell (Kreis-Modell). Für das Kreis-Modell wird der Verlustfunktional explizit hergeleitet und zeigt, dass der optimale Algorithmus durch eine punktweise Minimierung gefunden werden kann. Für das Wishart-Modell wird der Verlustfunktional approximativ hergeleitet, indem Momente der Resolventenmatrix berechnet werden. Unter Annahme von Potenzgesetzen für das Spektrum des Kernels und der Zielfunktion werden dann für beide Modelle vollständige Verlustasymptotiken für verrauschte und rauschfreie Beobachtungen hergeleitet. Dabei zeigt sich: Im verrauschten Fall konvergieren beide Modelle zu einem einfachen "Naiven Modell für verrauschte Beobachtungen" (NMNO), was auf eine mögliche Universalität der Ergebnisse für eine breitere Klasse von Problemen hindeutet. Im rauschfreien Fall tritt ein Sättigungsphänomen auf, bei dem der optimale Verlust von einer Skala s = ν/κ auf s = 0 wechselt, wenn κ > 2ν. Dies führt zu einer Verschlechterung der Konvergenzrate von O(N^(-κ)) auf O(N^(-2ν)). Im Gegensatz zum verrauschten Fall kann dieses Sättigungsverhalten nicht durch die Wahl des Algorithmus behoben werden. Darüber hinaus zeigt sich, dass es für κ > ν-1 optimal sein kann, die Trainingsdaten zu überlernen, im Gegensatz zur üblichen Regularisierung durch Unterlernen.

Stats

Die Verlustfunktionale enthalten folgende wichtige Größen: λl: Eigenwerte des Kernels cl: Eigenwertkoeffizienten der Zielfunktion N: Größe des Trainingsdatensatzes σ^2: Varianz des Beobachtungsrauschens

Quotes

"Für beide verrauschte und rauschfreie Beobachtungen leiten wir vollständige Verlustasymptotiken her." "Wir führen den Begriff der spektralen Lokalisierung ein - die Skala der Kerneleigenwerte, über die sich der Verlust aufbaut - und quantifizieren sie für die betrachteten Algorithmen." "Durch Charakterisierung der Form des optimalen Algorithmus zeigen wir, dass es in bestimmten Fällen optimal sein kann, die Trainingsdaten zu überlernen, ähnlich wie bei KRR mit negativer Regularisierung."

Key Insights Distilled From

Generalization error of spectral algorithms

by Maksim Velik... at arxiv.org 03-19-2024

https://arxiv.org/pdf/2403.11696.pdf

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