Überfitting bei der Interpolation von verrauschten Daten mit flachen univariaten ReLU-Netzwerken

Core Concepts

Trotz perfekter Interpolation von verrauschten Trainingsdaten zeigen überparametrisierte neuronale Netzwerke oft ein "gedämpftes Überfitting", bei dem das Populationsrisiko nicht gegen den Bayes-optimalen Fehler konvergiert, aber auch nicht gegen Unendlich geht, was zu nicht-trivialer Generalisierung führt. Diese Arbeit bietet eine rigorose Analyse des Überfittingverhaltens von Regression mit minimaler Norm (L2-Norm der Gewichte), mit Fokus auf univariate zwei-Schichten ReLU-Netzwerke. Es wird gezeigt, dass Überfitting mit hoher Wahrscheinlichkeit gedämpft ist, wenn es in Bezug auf den L1-Verlust gemessen wird, aber katastrophal ist in Bezug auf den L2-Verlust oder wenn der Erwartungswert über den Trainingssatz betrachtet wird.

Abstract

Die Arbeit untersucht das Überfittingverhalten von Interpolationslernen mit minimaler Norm (L2-Norm der Gewichte) für univariate zwei-Schichten ReLU-Netzwerke. Zunächst wird gezeigt, dass lineare Spline-Interpolatoren ein "gedämpftes" Überfittingverhalten aufweisen, bei dem das asymptotische Risiko proportional zum Rauschpegel ist. Für die minimalen Norm-Interpolatoren wird dann ein subtileres Verhalten beobachtet: Für Lp-Verluste mit p < 2 ist das Überfitting ebenfalls gedämpft, sowohl in Bezug auf Erwartungswert als auch mit hoher Wahrscheinlichkeit. Für Lp-Verluste mit p ≥ 2 ist das Überfitting jedoch katastrophal, sowohl in Erwartung als auch mit hoher Wahrscheinlichkeit. Dieser Unterschied hängt mit der Bildung von "Spitzen" im Interpolator zusammen, die durch die zufällige Anordnung der Trainingspunkte verursacht werden. Wenn die Punkte stattdessen auf einem gleichmäßigen Gitter liegen, ist das Überfitting für alle Lp-Verluste gedämpft. Insgesamt zeigt die Arbeit, dass die Art des Überfittings eine empfindliche Eigenschaft der Kombination aus Verlustfunktion und Anordnung der Trainingspunkte ist.

Stats

Für p ∈ [1, 2) gilt mit hoher Wahrscheinlichkeit: Lp(ˆfS) ≤ C/(2-p) · Lp(f*) Für p ≥ 2 gilt mit hoher Wahrscheinlichkeit: Lp(ˆfS) → ∞ Wenn die Trainingspunkte auf einem Gitter liegen, ist das Überfitting für alle p ≥ 1 gedämpft: Lp(ˆfS) ≤ Cp · Lp(f*)

Quotes

"Trotz perfekter Interpolation von verrauschten Trainingsdaten zeigen überparametrisierte neuronale Netzwerke oft ein 'gedämpftes Überfitting', bei dem das Populationsrisiko nicht gegen den Bayes-optimalen Fehler konvergiert, aber auch nicht gegen Unendlich geht, was zu nicht-trivialer Generalisierung führt." "Die Art des Überfittings ist eine empfindliche Eigenschaft der Kombination aus Verlustfunktion und Anordnung der Trainingspunkte."

Key Insights Distilled From

Noisy Interpolation Learning with Shallow Univariate ReLU Networks

by Nirmit Joshi... at arxiv.org 03-25-2024

https://arxiv.org/pdf/2307.15396.pdf

Deeper Inquiries

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