Appell F1, F3, Lauricella F (3) D, and Lauricella-Saran F (3) S: Analytic Continuations and Numerical Evaluation for Feynman Integrals

Core Concepts

Multivariable hypergeometric functions are analyzed for analytic continuations and numerical evaluations in the context of Feynman integrals.

Abstract

The content delves into the investigation of Appell F1, F3, Lauricella F (3) D, and Lauricella-Saran F (3) S series for their analytic continuations and numerical evaluations. The study aims to cover the real (x, y, z) space, excluding singular loci, crucial for Feynman integral calculations. Mathematica packages are provided for practical use, showcasing physical applications and comparisons with other methods. The article is structured into sections discussing definitions, the method of Olsson for analytic continuations, algorithm strategies for efficient evaluation, and demonstration of the packages with commands.
Definitions

Appell F1, F3, Lauricella F (3) D, and Lauricella-Saran F (3) S series are explored for their properties and representations.
Euler integral representations and singular loci of these functions are highlighted.
The Method of Olsson

Analytic continuations are derived using the method of Olsson, leveraging known properties of hypergeometric functions.
Symmetry relations and strategies for efficient evaluation are discussed.
Algorithm of the Packages

Strategies for selecting suitable analytic continuations, efficient summation techniques, and handling non-generic parameter values are outlined.
Demonstration of the Packages

Commands for numerical evaluation, exposing analytic continuations, finding all valid series, and visualizing regions of convergence are demonstrated for Appell F1.

Stats

"The values of Appell F1 for various points are obtained using Eq. (4) and Eq. (36). The Pochhammer parameters are a = 123/100, b1 = 234/100, b2 = 398/100, c = 47/10. The values are displayed with 20 significant digits. N is the maximum value of each index for finite summation, and t is the time in seconds for the evaluation in a typical run."
"Table of values obtained for various points obtained using Eq. (15) and Eq. (39). Pochhammer parameters used are a = 13/10, b1 = 1/5, b2 = 1/7, b3 = 1/11, c = 11/13. Values are shown up to 20 significant digits, N denotes the maximum value of each of the indices used for finite summation, and t denotes the time taken to complete the evaluation in seconds for a typical run."

Quotes

"The analytic continuations of Gauss 2F1 around x = 1 and x = ∞ are well-known."
"The hypergeometric functions have a long history of appearing in the evaluation of Feynman integrals."

Key Insights Distilled From

Analytic continuations and numerical evaluation of the Appell $F_1$, $F_3$, Lauricella $F_D^{(3)}$ and Lauricella-Saran $F_S^{(3)}$ and their Application to Feynman Integrals

by Souvik Bera,... at arxiv.org 03-05-2024

https://arxiv.org/pdf/2403.02237.pdf

Deeper Inquiries

How do the analytic continuations of hypergeometric functions impact the efficiency of Feynman integral evaluations

하이퍼지오메트릭 함수의 해석 연속은 페이만 적분 평가의 효율성에 중대한 영향을 미칩니다. 페이만 적분은 물리학에서 중요한 계산 문제 중 하나이며, 이러한 적분은 종종 다양한 변수 하이퍼지오메트릭 함수의 형태로 나타납니다. 하이퍼지오메트릭 함수의 해석 연속을 찾는 것은 특정 점에서 함수를 수치적으로 계산할 때 수렴성을 향상시키고 더 빠른 계산을 가능하게 합니다. 이는 복잡한 페이만 적분을 더 효율적으로 평가할 수 있도록 도와줍니다.

What are the implications of the convergence rates of different analytic continuations on numerical evaluations

다른 해석 연속의 수렴률이 수치 평가에 미치는 영향은 상당히 중요합니다. 수렴률이 빠를수록 수치 계산이 더 빠르고 효율적으로 이루어집니다. 빠른 수렴률을 갖는 해석 연속을 선택하면 수치 평가의 정확성과 속도를 향상시킬 수 있습니다. 따라서 수렴률이 높은 해석 연속을 선택하는 것은 수치 평가의 품질을 향상시키는 데 중요합니다.

How can the study of hypergeometric functions in mathematical physics extend beyond Feynman integrals

수학 물리학에서 하이퍼지오메트릭 함수의 연구는 페이만 적분을 넘어서 다양한 영역으로 확장될 수 있습니다. 이러한 함수는 물리학뿐만 아니라 통계 역학, 양자 역학, 전자기학 등 다양한 분야에서도 중요한 역할을 합니다. 예를 들어, 고에너지 물리학, 통계 역학적 시스템, 양자 역학적 상호작용 등 다양한 물리학적 문제에 하이퍼지오메트릭 함수가 적용될 수 있습니다. 또한, 이러한 함수는 수학적 물리학의 다른 분야에서도 유용하게 활용될 수 있습니다. 따라서 하이퍼지오메트릭 함수의 연구는 물리학 및 수학적 물리학의 다양한 분야에 걸쳐 중요한 영향을 미칠 수 있습니다.