Balanceable and Simply Balanceable Regular Graphs: Characterization and Complexity Analysis

Core Concepts

Balanceable and simply balanceable regular graphs are characterized based on the independence number, leading to different recognition complexities for various degrees.

Abstract

Introduction Definition of balanceable graphs by Caro et al. Previous work on balanceable graphs and their properties. Balanceable Graphs Definition and characterization of balanceable graphs. Challenges in determining balanceability. Simply Balanceable Graphs Definition and characterization of simply balanceable graphs. Equivalence of conditions for simple balanceability. Results Characterization of simply balanceable regular graphs. NP-completeness proof for recognizing simply balanceable 9-regular graphs. Balanceability of cubic graphs. Balanceability of 4-regular graphs. Conclusion Summary of results and open questions.

Stats

Let G be a graph and n be a positive integer. Let bal(n, G) < ⌊1/2 n^2⌋ be the smallest integer, if it exists, such that every 2-coloring ϕ: E(Kn) → {R, B} of the edges of the complete graph Kn with ϕ−1(R) > bal(n, G) contains a balanced copy of G. Every cubic graph is balanceable. Every 4-regular graph of order n, where n ≡ 0 (mod 4), is balanceable.

Quotes

"A graph G is simply balanceable if there exists an independent set I in G such that |E|/2 = ∑_{x∈I} d(x)." "Determining whether a given 9-regular graph is simply balanceable is NP-complete."

Key Insights Distilled From

On balanceable and simply balanceable regular graphs

by Mila... at arxiv.org 03-11-2024

https://arxiv.org/pdf/2403.05418.pdf

Deeper Inquiries

Implikationen der Ergebnisse zu ausgewogenen und einfach ausgewogenen regulären Graphen für die Graphentheorie als Ganzes

Die Ergebnisse zu ausgewogenen und einfach ausgewogenen regulären Graphen tragen wesentlich zum Verständnis der Struktur und Eigenschaften von Graphen bei. Sie bieten Einblicke in die Komplexität von Graphen und liefern wichtige Erkenntnisse über die Balance und Symmetrie in regulären Graphen. Diese Ergebnisse haben das Potenzial, neue Forschungsrichtungen in der Graphentheorie zu eröffnen und können als Grundlage für weitere Untersuchungen dienen. Darüber hinaus tragen sie zur Entwicklung von Algorithmen und Methoden bei, um die Balance und Struktur von Graphen besser zu verstehen und zu analysieren.

Argumente gegen das Konzept der Ausgewogenheit in regulären Graphen

Ein mögliches Argument gegen das Konzept der Ausgewogenheit in regulären Graphen könnte sein, dass es sich um eine abstrakte mathematische Eigenschaft handelt, die möglicherweise nicht immer eine direkte praktische Relevanz hat. Es könnte argumentiert werden, dass die Ausgewogenheit eines Graphen in Bezug auf seine Kantenfärbung oder Struktur möglicherweise nicht immer eine entscheidende Rolle spielt, insbesondere wenn es um konkrete Anwendungen außerhalb der reinen Mathematik geht. Darüber hinaus könnte argumentiert werden, dass die Definition von Ausgewogenheit möglicherweise zu restriktiv ist und nicht alle relevanten Aspekte der Graphentheorie abdeckt.

Anwendungen der Studie von ausgewogenen Graphen auf reale Probleme außerhalb der Mathematik

Die Untersuchung von ausgewogenen Graphen kann auf verschiedene reale Probleme außerhalb der Mathematik angewendet werden, insbesondere in Bereichen wie Informatik, Netzwerkanalyse, Logistik und Optimierung. Zum Beispiel können ausgewogene Graphen in der Netzwerkanalyse verwendet werden, um die Effizienz von Kommunikationsnetzwerken zu verbessern und Engpässe zu identifizieren. In der Logistik können ausgewogene Graphen zur Optimierung von Lieferketten und Transportrouten eingesetzt werden. Darüber hinaus können sie in der Optimierung von Prozessen und Entscheidungsfindung in verschiedenen Branchen verwendet werden, um eine ausgewogene Verteilung von Ressourcen und Aufgaben zu gewährleisten. Insgesamt bieten ausgewogene Graphen ein vielseitiges Werkzeug zur Analyse und Optimierung komplexer Systeme in verschiedenen Anwendungsbereichen.