Decorated Reeb Spaces Stability and Approximations Study

Core Concepts

Decorated Reeb spaces are Gromov-Hausdorff stable and can be approximated from finite samples.

Abstract

The content discusses stability and approximations for Decorated Reeb Spaces, focusing on the core concept of Gromov-Hausdorff stability. It introduces the concept of decorated Reeb spaces, their construction, and computational framework. The article provides insights into graphical summaries of topological spaces, persistent homology, and methods for enriching graphical descriptors with additional geometric or topological data. It also covers the metrization of Reeb spaces, decorations using persistence diagrams, and stability results for enriched topological summaries. Introduction: Graphical summaries in mathematics. Popular tools for shape and data analysis. Enriching graphical descriptors with geometric or topological data. Stability and Approximations: Introducing decorated Reeb spaces. Construction methods and computational frameworks. Metrization of Reeb spaces. Decorations using persistence diagrams. Stability results for enriched topological summaries. Gromov-Hausdorff Stability: Metric fields and multiscale comparisons. Connectivity conditions for metric fields. Stability properties of decorated Reeb space constructions. Finite Approximations: Approximating decorated Reeb spaces from finite samples. Algorithm for computing the Reeb radius function. Stability results for barcode decorations in discrete settings. Simplifying Graphs by Smoothing: Adapting the concept of Reeb smoothing to combinatorial graphs. Effectiveness of ϵ-smoothings in simplifying graph structures. Computational Examples: Synthetic data examples illustrating the effect of the λ parameter on DRGs. Shape data examples showcasing different functions applied to DRGs.

Stats

Given a map f : X → M from a topological space X to a metric space M...

Quotes

Key Insights Distilled From

Stability and Approximations for Decorated Reeb Spaces

by Justin Curry... at arxiv.org 03-21-2024

https://arxiv.org/pdf/2312.01982.pdf

Deeper Inquiries

実用上の応用における装飾されたリーブ空間の安定性はどのように影響しますか？

装飾されたリーブ空間の安定性は、実際の応用において非常に重要です。まず第一に、この研究で示された安定性は、トポロジカルデータ解析や形状解析などの領域で使用される新しい手法やツールを開発する際に信頼性と精度を確保することができます。例えば、点群データから幾何学的情報を抽出し、その特徴を捉えるために利用される場合、装飾されたリーブ空間が提供する豊富な情報はデータセット全体を包括的かつ効果的に要約することが可能です。 さらに、この安定性は計算機科学や機械学習分野でも重要です。例えば、大規模なデータセットや高次元データへの適用時にも装飾されたリーブ空間が安定して動作することで、複雑な問題を効率的かつ正確に処理することが可能となります。また、異種データソースから得られる情報を統合して解析する際も同様です。 したがって、装飾されたリーブ空間の安定性はさまざまな実務アプリケーションや学術研究分野で革新的な成果を生み出す可能性があります。