Multiple Reachability in Linear Dynamical Systems: Decidability and Undecidability

Core Concepts

Multiple reachability in linear dynamical systems can be undecidable, especially for specific conditions like semialgebraic sets and rotations.

Abstract

The article discusses the reachability decision problems for linear dynamical systems.
It explores the undecidability of multiple reachability, especially in the context of semialgebraic sets and rotations.
The content covers reductions from Hilbert's tenth problem and provides algorithms for deciding reachability for various targets on the affine plane.
Different cases are analyzed, including diagonalizable matrices, rotations, and repeated eigenvalues.
The article concludes with proofs and algorithms for deciding multiple reachability in different scenarios.

Stats

In diesem Artikel wird gezeigt, dass die Orbit-Visits in einem Halbraum höchstens zweimal wechseln können.
Die Gaps zwischen zwei aufeinanderfolgenden Besuchen des Orbits im Halbraum sind höchstens 3.
Für Matrizen mit wiederholten Eigenwerten kann der Orbit von einem Halbraum zu R2 \ H höchstens einmal wechseln.

Quotes

"Der Orbit kann höchstens zweimal von einem Halbraum zu R2 \ H wechseln."
"Die Gaps zwischen zwei aufeinanderfolgenden Besuchen des Orbits im Halbraum sind höchstens 3."

Key Insights Distilled From

Multiple Reachability in Linear Dynamical Systems

by Togh... at arxiv.org 03-12-2024

https://arxiv.org/pdf/2403.06515.pdf

Deeper Inquiries

Wie können die Erkenntnisse über die Orbit-Visits in Halbräumen auf andere mathematische Probleme angewendet werden?

Die Erkenntnisse über die Orbit-Visits in Halbräumen können auf verschiedene mathematische Probleme angewendet werden, insbesondere solche, die sich mit dynamischen Systemen, linearen Algebra und geometrischen Konzepten befassen. Zum Beispiel können die Ergebnisse bei der Analyse von linearen dynamischen Systemen in der Informatik und der numerischen Mathematik verwendet werden. Die Fähigkeit, die Anzahl der Besuche eines Orbits in einem Halbraum zu bestimmen, kann auch in der Kombinatorik und der Graphentheorie relevant sein, insbesondere bei der Untersuchung von Pfaden und Zyklen in gerichteten Graphen. Darüber hinaus könnten die Erkenntnisse über Orbit-Visits in Halbräumen auch in der mathematischen Optimierung und bei der Modellierung von physikalischen Systemen Anwendung finden.

Gibt es Gegenargumente, die die Schlussfolgerungen des Artikels in Frage stellen könnten?

Ein mögliches Gegenargument könnte darauf hinweisen, dass die Annahmen, die in den Schlussfolgerungen des Artikels gemacht wurden, möglicherweise zu restriktiv sind und nicht auf alle Szenarien oder Systeme verallgemeinert werden können. Zum Beispiel könnte die Beschränkung auf spezifische Arten von Matrizen oder Halbräumen die Anwendbarkeit der Ergebnisse auf allgemeinere mathematische Probleme einschränken. Ein weiteres Gegenargument könnte darauf hinweisen, dass die Komplexität der mathematischen Modelle und die Vielzahl möglicher Szenarien es schwierig machen, eine universelle Schlussfolgerung zu ziehen, die für alle Fälle gilt.

Wie können mathematische Konzepte wie Orbit-Visits und Halbräume in anderen wissenschaftlichen Disziplinen relevant sein?

Mathematische Konzepte wie Orbit-Visits und Halbräume haben Anwendungen in verschiedenen wissenschaftlichen Disziplinen jenseits der reinen Mathematik. In der Physik können diese Konzepte beispielsweise bei der Modellierung von Bewegungen von Himmelskörpern, Teilchen oder Wellen verwendet werden. In der Informatik könnten sie bei der Analyse von Algorithmen und der Optimierung von Prozessen relevant sein. Darüber hinaus könnten sie in den Neurowissenschaften zur Untersuchung von neuronalen Netzwerken und Mustern der neuronalen Aktivität eingesetzt werden. In den Ingenieurwissenschaften könnten Orbit-Visits und Halbräume bei der Steuerung von Systemen und der Analyse von Signalen und Systemen von Bedeutung sein. Die Anwendungen dieser mathematischen Konzepte in verschiedenen wissenschaftlichen Disziplinen verdeutlichen ihre Vielseitigkeit und Relevanz über die Mathematik hinaus.