Windowed Anderson Acceleration for Symmetric Fixed-Point Iterations: Improved Convergence Rates

Core Concepts

Windowed Anderson Acceleration improves convergence rates for symmetric fixed-point iterations.

Abstract

The paper explores the efficacy of the windowed Anderson acceleration (AA) algorithm for fixed-point methods, showcasing improved convergence rates for linear and symmetric operators. The study establishes the root-linear convergence factor enhancement over fixed-point iterations, with simulations validating the findings. Various applications and comparisons with standard fixed-point methods are discussed, emphasizing the superiority of AA for Tyler’s M-estimation.

Introduction

Investigates Anderson acceleration (AA) for fixed-point problems.
Relationship to Pulay mixing, nonlinear GMRES, and quasi-Newton methods.
Recent interest in AA applications.

Main Results

Linear Symmetric Operators: Theorem 1 establishes the convergence rate of AA(m) for linear symmetric operators.
Nonlinear Operator: Theorem 4 proves the local convergence rate of modified AA(m) for nonlinear operators.

Simulations

Data Model 1: Verification of theoretical results for TME.
Data Model 2: Comparison of computational efficiency between AA(m) and standard TME fixed-point iteration.

Comparison of AA Variants

Full-memory AA, Restarting AA, and Windowed AA compared for TME.

Technical Proofs

Proof of Theorem 1: Establishes the upper bound on the r-linear convergence factor of AA(m).
Proof of Proposition 2: Special case tight bound proof.

Stats

AA(m) improves convergence rates for linear and symmetric operators.
The r-linear convergence factor is bounded by the root-linear convergence factor.
Theoretical results are validated through simulations.

Quotes

"AA significantly superior to standard fixed-point methods for Tyler’s M-estimation."
"AA outperforms the fixed-point iteration in various applications."

Key Insights Distilled From

Improved Convergence Rates of Windowed Anderson Acceleration for Symmetric Fixed-Point Iterations

by Casey Garner... at arxiv.org 03-11-2024

https://arxiv.org/pdf/2311.02490.pdf

Deeper Inquiries

질문 1

AA의 초기화가 수렴 속도에 어떤 영향을 미치나요?

대답 1

AA의 초기화는 수렴 속도에 중요한 영향을 미칩니다. 초기화된 값이 고정점 주변에 가까울수록 AA는 더 빠르게 수렴할 가능성이 높습니다. 초기화가 고정점에서 멀리 떨어져 있으면 AA의 반복이 더 많이 필요할 수 있습니다. 따라서 올바른 초기화는 AA의 수렴 속도를 향상시키는 데 중요합니다.

질문 2

AA의 향상된 수렴 속도의 실제적인 의미는 무엇인가요?

대답 2

AA의 향상된 수렴 속도는 반복 알고리즘을 사용하는 다양한 응용 프로그램에 많은 혜택을 줄 수 있습니다. 빠른 수렴은 계산 비용을 줄이고 문제 해결 시간을 단축시킬 수 있습니다. 또한 빠른 수렴은 더 높은 정확도와 효율성을 제공하여 실제 응용 프로그램에서 더 나은 성능을 보장할 수 있습니다.

질문 3

이 연구 결과를 다른 최적화 알고리즘에 어떻게 확장할 수 있을까요?

대답 3

이 연구 결과는 다른 최적화 알고리즘에도 적용될 수 있습니다. AA의 개선된 수렴 속도는 다른 반복 알고리즘에서도 적용될 수 있으며, 초기화 및 반복 과정을 최적화하여 더 빠른 수렴을 달성할 수 있습니다. 또한 AA의 이론적 결과와 접근 방식은 다른 최적화 문제에도 적용될 수 있으며, 수렴 속도와 수렴 특성을 향상시키는 데 도움이 될 수 있습니다.