Stabile Einbettungen von Orbifold-Quotienten in Coorbit-Räume

Core Concepts

Für einen reellen Hilbertraum V und eine Gruppe G linearer Isometrien konstruieren wir eine Familie von G-invarianten reellwertigen Funktionen auf V, die wir Coorbit-Filterbanken nennen. Diese vereinen frühere Konzepte von Max-Filterbanken und endlichen Coorbit-Filterbanken. Wenn V = Rd und G kompakt ist, zeigen wir, dass eine geeignete Coorbit-Filterbank injektiv und lokal untere Lipschitz-stetig im Quotientenmetrik an Orbits maximaler Dimension ist. Außerdem zeigen wir, wenn der Orbifold-Quotient Sd−1/G eine Riemannsche Orbifold ist, dass eine geeignete Coorbit-Filterbank bi-Lipschitz-stetig in der Quotientenmetrik ist.

Abstract

Der Artikel befasst sich mit der Konstruktion und Analyse von Coorbit-Filterbanken für kompakte Gruppen G ≤ O(d). Diese Filterbanken vereinen frühere Konzepte von Max-Filterbanken und endlichen Coorbit-Filterbanken.
Kernpunkte:

Konstruktion der Coorbit-Filterbanken und Nachweis ihrer Invarianz, Symmetrie und Semialgebrizität
Analyse der Geometrie der Coorbit-Abbildungen durch eine natürliche Voronoi-Zellen-Zerlegung des Raums
Abschätzung der oberen Lipschitz-Schranke für Coorbit-Filterbanken
Nachweis, dass 2c generische Templates für eine injektive (allgemeiner: schwach vermeidende) Coorbit-Filterbank ausreichen, wobei c ≤ d die Kohomogenität von G ≤ O(d) ist
Nachweis, dass 2c - 1 generische Templates für eine lokal untere Lipschitz-stetige (allgemeiner: lokal vermeidende) Coorbit-Filterbank an prinzipiellen Punkten ausreichen
Reduktion des Problems der starken Vermeidung auf Gruppen, bei denen der Ursprung der einzige Punkt ist, der von der gesamten Gruppe G fixiert wird
Klassifikation von Gruppen mit Stabilisatoren endlichen Index (z.B. endliche Gruppen und freie Gruppen) und Nachweis, dass für diese Gruppen 2c generische Templates für bi-Lipschitz-stetige (allgemeiner: stark vermeidende) Coorbit-Filterbanken ausreichen
Reduktion des Problems der starken Vermeidung einer Coorbit-Filterbank von G auf das Problem der starken Vermeidung einer Max-Filterbank von G0 (der Identitätskomponente von G)
Nachweis, dass Max-Filterbanken mit genügend Templates lokal untere Lipschitz-stetig an Orbits maximaler Dimension, d.h. regulären Orbits, sind
Nachweis, dass Max-Filterbanken mit genügend Templates (sphärische) Orbifold-Quotienten bi-Lipschitz-stetig in den euklidischen Raum einbetten.

Stats

Der Quotientenabstand d([x], [y]) ist eine semialgebraische Funktion.
Für kompaktes G ≤ O(d) ist jede Komponente K ∈ π0(G) kompakt und semialgebraisch als Teilmenge von Rd×d.
Für festes K ∈ π0(G) ist die K-Komponente der Coorbit-Abbildung C(·, ·, K): Rd × Rd → R semialgebraisch.
Für festes i ∈ {1, ..., |π0(G)|} ist die Coorbit-Abbildung Ψi(·, ·): Rd × Rd → R semialgebraisch.

Quotes

"Für kompaktes G ≤ O(d) ist jede Komponente K ∈ π0(G) kompakt und semialgebraisch als Teilmenge von Rd×d."
"Für festes K ∈ π0(G) ist die K-Komponente der Coorbit-Abbildung C(·, ·, K): Rd × Rd → R semialgebraisch."
"Für festes i ∈ {1, ..., |π0(G)|} ist die Coorbit-Abbildung Ψi(·, ·): Rd × Rd → R semialgebraisch."

Key Insights Distilled From

Stable Coorbit Embeddings of Orbifold Quotients

by Yousef Qaddu... at arxiv.org 03-22-2024

https://arxiv.org/pdf/2403.14042.pdf

Deeper Inquiries

Ist jede injektive Coorbit-Filterbank bi-Lipschitz-stetig?

Um zu bestimmen, ob jede injektive Coorbit-Filterbank bi-Lipschitz-stetig ist, müssen wir die Eigenschaften der Coorbit-Filterbank analysieren. Eine Coorbit-Filterbank ist eine Verallgemeinerung von Max-Filterbanken und wurde entwickelt, um die Verzerrung der Quotientenmetrik zu minimieren. Die Bi-Lipschitz-Stetigkeit bedeutet, dass es Konstanten gibt, die die Verzerrung der Metrik bei der Einbettung des Orbitraums in den euklidischen Raum begrenzen.
Um die Bi-Lipschitz-Stetigkeit zu überprüfen, müssen wir die Konstruktion der Coorbit-Filterbank, die Invarianz der Coorbit-Filterbank und die Eigenschaften der Realisierung von Gruppenkomponenten analysieren. Durch die Untersuchung der Separationsskala und die Kontinuität der Coorbit-Abbildung können wir feststellen, ob jede injektive Coorbit-Filterbank bi-Lipschitz-stetig ist.

Wie lässt sich das Problem der starken Vermeidung auf andere kompakte Gruppen G ≤ O(d) verallgemeinern, für die der Ursprung nicht der einzige von der gesamten Gruppe fixierte Punkt ist?

Um das Problem der starken Vermeidung auf andere kompakte Gruppen zu verallgemeinern, bei denen der Ursprung nicht der einzige von der gesamten Gruppe fixierte Punkt ist, müssen wir die Struktur der Gruppe und die Stabilisatoren analysieren. Wir können die Konzepte der Hauptpunkte, der Gruppenkomponenten und der Separationsskala verwenden, um die Bedingungen für die starke Vermeidung in diesen speziellen Gruppen zu untersuchen.
Durch die Anwendung von Lemmata und Propositionen, die die Kontinuität der Coorbit-Abbildung und die Realisierung von Gruppenkomponenten behandeln, können wir das Problem der starken Vermeidung auf andere kompakte Gruppen verallgemeinern und spezielle Bedingungen für die starke Vermeidung in diesen Gruppen ableiten.

Welche Anwendungen in der Maschinellen Lernung könnten von den Erkenntnissen über stabile Coorbit-Einbettungen von Orbifold-Quotienten profitieren?

Die Erkenntnisse über stabile Coorbit-Einbettungen von Orbifold-Quotienten haben verschiedene Anwendungen in der Maschinellen Lernung. Zum Beispiel könnten sie bei der Verarbeitung von Daten mit unklaren oder unscharfen Strukturen nützlich sein, wie z.B. bei der Analyse von Punktwolken oder unvollständigen Datensätzen.
Darüber hinaus könnten stabile Coorbit-Einbettungen in der Bildverarbeitung und Mustererkennung eingesetzt werden, um komplexe Datenstrukturen zu analysieren und Muster in großen Datensätzen zu identifizieren. Diese Techniken könnten auch in der Sprachverarbeitung und der Analyse von Zeitreihendaten verwendet werden, um Muster und Trends zu erkennen.
Insgesamt könnten die Erkenntnisse über stabile Coorbit-Einbettungen von Orbifold-Quotienten dazu beitragen, effektivere und präzisere Maschinenlernmodelle zu entwickeln und komplexe Datenstrukturen besser zu verstehen.