Entscheidbarkeit des Identitätsproblems und des Gruppenproblem in virtuell auflösbaren Matrixgruppen über algebraischen Zahlen

Core Concepts

Das Identitätsproblem und das Gruppenproblem sind in virtuell auflösbaren Untergruppen von GL(d, Q) entscheidbar.

Abstract

Der Artikel betrachtet zwei Entscheidungsprobleme in virtuell auflösbaren Matrixgruppen: das Identitätsproblem (enthält eine gegebene endlich erzeugte Teilhalbgruppe die Identitätsmatrix?) und das Gruppenproblem (ist eine gegebene endlich erzeugte Teilhalbgruppe eine Gruppe?). Es wird gezeigt, dass beide Probleme in virtuell auflösbaren Matrixgruppen über dem Körper der algebraischen Zahlen Q entscheidbar sind. Der Beweis erweitert auch die Entscheidbarkeitsresultate für nilpotente Gruppen von Bodart, Ciobanu, Metcalfe und Shaffrir sowie für metabelsche Gruppen von Dong. Da das Identitätsproblem und das Gruppenproblem in Matrixgruppen, die F2 × F2 als Untergruppe enthalten, bekanntermaßen unentscheidbar sind, reduziert dieses Ergebnis die Entscheidbarkeitsücke für beide Probleme erheblich.

Stats

Die Tits-Alternative besagt, dass eine endlich erzeugte Matrixgruppe entweder eine nicht-abelsche freie Untergruppe F2 enthält oder virtuell auflösbar ist. Kopytov zeigte, dass das Gruppenmitgliedschaftsproblem in virtuell auflösbaren Matrixgruppen über Q entscheidbar ist.

Quotes

"Die Tits-Alternative besagt, dass eine endlich erzeugte Matrixgruppe entweder eine nicht-abelsche freie Untergruppe F2 enthält oder virtuell auflösbar ist." "Kopytov zeigte, dass das Gruppenmitgliedschaftsproblem in virtuell auflösbaren Matrixgruppen über Q entscheidbar ist."

Key Insights Distilled From

The Identity Problem in virtually solvable matrix groups over algebraic numbers

by Corentin Bod... at arxiv.org 04-04-2024

https://arxiv.org/pdf/2404.02264.pdf

Deeper Inquiries

Welche anderen Entscheidungsprobleme in Matrixgruppen sind bekannt und wie lassen sich die Ergebnisse dieses Artikels darauf übertragen

In der mathematischen Forschung sind verschiedene Entscheidungsprobleme in Matrixgruppen bekannt, darunter das Wortproblem, das Konjugationsproblem und das Untergruppenproblem. Die Ergebnisse dieses Artikels, insbesondere die Entscheidbarkeit des Identitätsproblems und des Gruppenproblems in virtuell auflösbaren Matrixgruppen, können auf diese anderen Probleme übertragen werden. Zum Beispiel kann die Methode der automatischen Erkennung von rationalen Teilmengen einer Gruppe, die in diesem Artikel verwendet wird, auch auf das Wortproblem angewendet werden, um zu entscheiden, ob ein gegebenes Wort das neutrale Element der Gruppe repräsentiert.

Welche Auswirkungen haben die Ergebnisse dieses Artikels auf die Komplexität von Berechnungen in virtuell auflösbaren Matrixgruppen

Die Ergebnisse dieses Artikels haben signifikante Auswirkungen auf die Komplexität von Berechnungen in virtuell auflösbaren Matrixgruppen. Durch die Entscheidbarkeit des Identitätsproblems und des Gruppenproblems wird die Berechnung von Gruppenoperationen und die Überprüfung der Gruppeneigenschaften in solchen Matrixgruppen vereinfacht. Dies ermöglicht eine effizientere Analyse und Anwendung von Matrixgruppen in verschiedenen mathematischen Kontexten, insbesondere in der algorithmischen Gruppentheorie und der Berechnungstheorie.

Gibt es Anwendungen der Entscheidbarkeit des Identitätsproblems und des Gruppenproblems in anderen mathematischen Gebieten

Die Entscheidbarkeit des Identitätsproblems und des Gruppenproblems in Matrixgruppen hat vielfältige Anwendungen in anderen mathematischen Gebieten. Zum Beispiel können die Ergebnisse zur Lösung von algorithmischen Problemen in der Gruppentheorie, der algebraischen Geometrie und der Zahlentheorie verwendet werden. In der Kryptographie können diese Ergebnisse zur Entwicklung sicherer Verschlüsselungsalgorithmen und digitaler Signaturen auf der Grundlage von Matrixgruppen genutzt werden. Darüber hinaus können sie auch in der Computergrafik, der Optimierung und der maschinellen Lerntheorie Anwendungen finden.