Core Concepts
Es ist unmöglich, eine Formel für Primzahlen mithilfe von Maschinellem Lernen zu entdecken, da die Verteilung der Primzahlen statistisch unabhängig und zufällig ist.
Abstract
Die Studie untersucht die theoretischen Grenzen des Maschinellen Lernens im Rahmen von Kolmogorovs Theorie der Algorithmischen Wahrscheinlichkeit. Es wird gezeigt, dass die Verteilung der Primzahlen so komplex ist, dass sie nicht durch eine einfache Formel beschrieben werden kann.
Zunächst wird die Theorie der Algorithmischen Wahrscheinlichkeit erläutert, insbesondere Kolmogorovs Invarianztheorem, Levins Universalverteilung und Levins Codierungstheorem. Diese Konzepte werden dann verwendet, um fundamentale Sätze der Wahrscheinlichkeitstheorie der Zahlen herzuleiten, wie den Satz von Erdős-Euklid, Tschebyscheffs Satz und den Primzahlcodierungssatz.
Diese Ergebnisse zeigen, dass die Verteilung der Primzahlen statistisch unabhängig und zufällig ist. Daher kann keine Formel für Primzahlen mithilfe von Maschinellem Lernen entdeckt werden. Stattdessen folgt die Verteilung der Primzahlen dem Prinzip der maximalen Entropie.
Stats
Die durchschnittliche Codelänge einer Primzahl im Intervall [1, N] ist proportional zu log2 N.
Die Entropie der Primzahlverteilung ist proportional zu ln N.
Fast alle ganzen Zahlen sind algorithmisch zufällig.
Quotes
"Gott schuf die ganzen Zahlen; alles andere ist das Werk des Menschen." - Leopold Kronecker