Die Unmöglichkeit, eine Formel für Primzahlen mithilfe von KI zu entdecken

Core Concepts

Es ist unmöglich, eine Formel für Primzahlen mithilfe von Maschinellem Lernen zu entdecken, da die Verteilung der Primzahlen statistisch unabhängig und zufällig ist.

Abstract

Die Studie untersucht die theoretischen Grenzen des Maschinellen Lernens im Rahmen von Kolmogorovs Theorie der Algorithmischen Wahrscheinlichkeit. Es wird gezeigt, dass die Verteilung der Primzahlen so komplex ist, dass sie nicht durch eine einfache Formel beschrieben werden kann. Zunächst wird die Theorie der Algorithmischen Wahrscheinlichkeit erläutert, insbesondere Kolmogorovs Invarianztheorem, Levins Universalverteilung und Levins Codierungstheorem. Diese Konzepte werden dann verwendet, um fundamentale Sätze der Wahrscheinlichkeitstheorie der Zahlen herzuleiten, wie den Satz von Erdős-Euklid, Tschebyscheffs Satz und den Primzahlcodierungssatz. Diese Ergebnisse zeigen, dass die Verteilung der Primzahlen statistisch unabhängig und zufällig ist. Daher kann keine Formel für Primzahlen mithilfe von Maschinellem Lernen entdeckt werden. Stattdessen folgt die Verteilung der Primzahlen dem Prinzip der maximalen Entropie.

Stats

Die durchschnittliche Codelänge einer Primzahl im Intervall [1, N] ist proportional zu log2 N. Die Entropie der Primzahlverteilung ist proportional zu ln N. Fast alle ganzen Zahlen sind algorithmisch zufällig.

Quotes

"Gott schuf die ganzen Zahlen; alles andere ist das Werk des Menschen." - Leopold Kronecker

Key Insights Distilled From

On the impossibility of discovering a formula for primes using AI

by Alexander Ko... at arxiv.org 03-20-2024

https://arxiv.org/pdf/2308.10817.pdf

Deeper Inquiries

Wie könnte man die Grenzen des Maschinellen Lernens bei der Erforschung komplexer mathematischer Strukturen wie Primzahlen theoretisch weiter untersuchen?

Um die Grenzen des Maschinellen Lernens bei der Erforschung komplexer mathematischer Strukturen wie Primzahlen theoretisch weiter zu untersuchen, könnte man verschiedene Ansätze verfolgen. Komplexitätsanalyse: Eine detaillierte Analyse der Komplexität von Algorithmen, die auf Maschinellem Lernen basieren, könnte Aufschluss darüber geben, wie effektiv sie bei der Entdeckung von Mustern in Primzahlen sind. Dies könnte die Identifizierung von Engpässen oder ineffizienten Methoden ermöglichen. Formalisierung von Primzahleneigenschaften: Durch die Entwicklung formaler Modelle, die die Eigenschaften von Primzahlen mathematisch beschreiben, könnte man untersuchen, ob Maschinelles Lernen in der Lage ist, diese Eigenschaften zu erfassen und zu nutzen. Dies könnte helfen, die Grenzen der maschinellen Erfassung von Primzahlen zu verstehen. Vergleich mit anderen mathematischen Methoden: Ein Vergleich der Leistung von Maschinellem Lernen mit traditionellen mathematischen Methoden bei der Analyse von Primzahlen könnte weitere Einblicke in die Effektivität und Grenzen des Maschinellen Lernens bieten.

Welche Gegenargumente könnten gegen die Schlussfolgerungen dieser Studie vorgebracht werden?

Gegen die Schlussfolgerungen dieser Studie könnten verschiedene Gegenargumente vorgebracht werden: Begrenzte Daten: Kritiker könnten argumentieren, dass die Schlussfolgerungen auf begrenzten oder nicht repräsentativen Daten basieren, was die Allgemeingültigkeit der Ergebnisse in Frage stellt. Annahmen: Es könnte behauptet werden, dass die Studie auf bestimmten Annahmen beruht, die möglicherweise nicht realistisch sind oder die Komplexität des Problems nicht vollständig erfassen. Methodik: Kritiker könnten die Methodik der Studie in Frage stellen und alternative Ansätze vorschlagen, um zu überprüfen, ob die Schlussfolgerungen robust und zuverlässig sind.

Welche Verbindungen bestehen zwischen der Theorie der Algorithmischen Wahrscheinlichkeit und fundamentalen Fragen der Physik wie der Natur des Zufalls?

Die Theorie der Algorithmischen Wahrscheinlichkeit bietet interessante Verbindungen zu fundamentalen Fragen der Physik, insbesondere zur Natur des Zufalls: Quantenphänomene: In der Quantenphysik spielt der Zufall eine wichtige Rolle. Die Algorithmische Wahrscheinlichkeit könnte dazu beitragen, das Verständnis von Quantenphänomenen und der probabilistischen Natur der Quantenmechanik zu vertiefen. Kosmologie: In der Kosmologie gibt es Fragen zur Entstehung des Universums und zur Existenz von Strukturen im Kosmos. Die Algorithmische Wahrscheinlichkeit könnte helfen, die Wahrscheinlichkeit solcher kosmologischen Ereignisse zu quantifizieren und zu verstehen. Chaos und Determinismus: Die Theorie der Algorithmischen Wahrscheinlichkeit könnte auch dazu beitragen, das Verhältnis zwischen Chaos und Determinismus in physikalischen Systemen zu untersuchen und die Rolle des Zufalls bei der Entwicklung von Mustern und Strukturen zu verstehen.