P1-Fehler: Eine Kombination aus absoluten und relativen Fehlern

Core Concepts

Der P1-Fehler ist eine Metrik, die die Vorteile des absoluten und des relativen Fehlers kombiniert und deren Nachteile abmildert. Er nähert sich dem absoluten Fehler an, wenn der Referenzwert klein ist, und dem relativen Fehler, wenn der Referenzwert groß ist.

Abstract

Der Artikel führt eine neue Fehlermetrik, den "P1-Fehler" oder "Plus-1-Fehler", ein. Diese Metrik kombiniert die Vorteile des absoluten und des relativen Fehlers, während sie deren Einschränkungen abmildert. Der absolute Fehler ist für große Zahlen ungeeignet, da er die Bedeutung eines Fehlers überbetonen kann, wenn die Zahlen groß sind, selbst wenn der relative Fehler klein ist. Umgekehrt ist der relative Fehler für kleine Zahlen nicht geeignet, da er den Fehler übertreibt, wenn der Referenzwert klein ist. Der P1-Fehler ist definiert als |x-y| / (1+|y|), wobei x der Näherungswert und y der Referenzwert ist. Er hat folgende Eigenschaften: Der Fehler nähert sich dem absoluten Fehler an, wenn |y| gegen 0 geht. Der Fehler nähert sich dem relativen Fehler an, wenn |y| gegen unendlich geht. Der Fehler ist eine glatte und ausgewogene Kombination aus absolutem und relativem Fehler. Ein ε P1-Fehler bedeutet, dass x nahe bei y liegt, mit einer absoluten Toleranz von ε und einer relativen Toleranz von ε. Der Fehler ist auch definiert, wenn y = 0. Der Artikel vergleicht den P1-Fehler mit anderen Kombinationen aus absolutem und relativem Fehler und zeigt, dass der P1-Fehler die besten Eigenschaften aufweist.

Stats

Beispiele für (x,y) und deren Fehler gemessen mit absolutem Fehler, relativem Fehler und P1-Fehler: x y Absoluter Fehler Relativer Fehler P1-Fehler 2.001 0.001 2 2000 (200000%) 1.998 3 1 2 (200%) 2 1 1002 1000 2 (0.2%) 0.001998 0.00102 0.001 0.00002 0.02 (2%) 0.00001998 1.02 1 0.02 0.02 0.01 1020 1000 20 0.01998 0.2012 0.001 0.2002 200.2 (20020%) 0.2 1.4 1 0.4 0.4 (40%) 0.4 1200.2 1000 200.2 0.2002 (20.02%) 0.2002 0.001 0 0.001 Undefiniert 0.001

Quotes

Keine relevanten Zitate.

Key Insights Distilled From

P1 Error

by Peichen Xie at arxiv.org 03-13-2024

https://arxiv.org/pdf/2403.07492.pdf

Deeper Inquiries

Wie könnte der P1-Fehler in anderen Anwendungsgebieten, z.B. in der Bildverarbeitung oder Signalanalyse, eingesetzt werden

Der P1-Fehler könnte in anderen Anwendungsgebieten wie der Bildverarbeitung oder Signalanalyse als Metrik für Fehler verwendet werden, um eine ausgewogene Bewertung von Fehlern zu ermöglichen. In der Bildverarbeitung könnte der P1-Fehler dazu beitragen, die Genauigkeit von Bildverarbeitungsalgorithmen zu bewerten, indem er sowohl absolute Fehler bei der Pixelgenauigkeit als auch relative Fehler bei der Bildskalierung berücksichtigt. In der Signalanalyse könnte der P1-Fehler verwendet werden, um die Genauigkeit von Signalverarbeitungsalgorithmen zu bewerten, wobei sowohl absolute Fehler bei der Amplitudenmessung als auch relative Fehler bei der Frequenzanalyse berücksichtigt werden.

Welche Auswirkungen hätte es, wenn man statt der Addition in der P1-Fehler-Definition eine andere Operation wie die Multiplikation verwenden würde

Wenn anstelle der Addition in der P1-Fehler-Definition eine andere Operation wie die Multiplikation verwendet würde, würde dies die Charakteristik des Fehlers verändern. Die Multiplikation würde dazu führen, dass der Fehler exponentiell ansteigt, insbesondere bei kleinen Werten von |𝑦|, was zu einer Verzerrung der Fehlerbewertung führen könnte. Die Verwendung der Multiplikation könnte dazu führen, dass kleine relative Fehler überproportional stark gewichtet werden, was die Ausgewogenheit zwischen absoluten und relativen Fehlern beeinträchtigen würde.

Wie könnte man den P1-Fehler erweitern, um auch andere Aspekte von Fehlern, wie z.B. die Verteilung oder Korrelation, zu berücksichtigen

Um den P1-Fehler zu erweitern und auch andere Aspekte von Fehlern wie die Verteilung oder Korrelation zu berücksichtigen, könnte man zusätzliche Terme oder Gewichtungen in die Fehlermetrik integrieren. Zum Beispiel könnte man die P1-Fehlerformel um Terme erweitern, die die Verteilung der Fehler um den Mittelwert oder die Korrelation zwischen den Fehlerwerten berücksichtigen. Durch die Integration solcher Erweiterungen könnte der P1-Fehler zu einem umfassenderen Maß für Fehler werden, das nicht nur die Größe der Fehler, sondern auch deren Muster und Beziehungen berücksichtigt.