Asymptotisch automatische Sequenzen: Eine systematische Untersuchung

Core Concepts

Asymptotisch automatische Sequenzen sind eine Verallgemeinerung automatischer Sequenzen, bei denen die k-Kerne nur bis auf asymptotische Gleichheit endlich sein müssen. Die Arbeit untersucht systematisch die grundlegenden Eigenschaften, Basen, Frequenzen von Symbolen und Teilwortkomplexi-tät dieser Sequenzen.

Abstract

Die Arbeit untersucht systematisch die Eigenschaften asymptotisch automatischer Sequenzen, die eine Verallgemeinerung automatischer Sequenzen darstellen. Zunächst werden grundlegende Eigenschaften wie Abgeschlossenheit unter Kartesischem Produkt, Kodierung und arithmetischen Progressionen gezeigt. Dann wird die Abhängigkeit von der Basis diskutiert - es zeigt sich, dass für multiplikativ abhängige Basen die Klasse der asymptotisch automatischen Sequenzen invariant ist, während für multiplikativ unabhängige Basen nur periodische Sequenzen in beiden Basen automatisch sind. Anschließend werden Frequenzen von Symbolen und Teilwörtern untersucht. Im Gegensatz zu automatischen Sequenzen existieren für asymptotisch automatische Sequenzen nicht notwendigerweise logarithmische Frequenzen, und falls Frequenzen existieren, müssen sie nicht rational sein. Weiterhin wird die asymptotische Teilwortkomplexi-tät eingeführt und gezeigt, dass diese linear ist. Abschließend werden Klassifikationsprobleme für bestimmte Klassen asymptotisch automatischer Sequenzen diskutiert.

Stats

Es gibt keine spezifischen Statistiken oder Zahlen, die aus dem Artikel extrahiert werden können.

Quotes

"Asymptotisch automatische Sequenzen sind eine Verallgemeinerung automatischer Sequenzen, bei denen die k-Kerne nur bis auf asymptotische Gleichheit endlich sein müssen." "Für multiplikativ abhängige Basen k und ℓ sind asymptotisch k-automatische Sequenzen dieselben wie asymptotisch ℓ-automatische Sequenzen." "Es gibt Beispiele, die zeigen, dass für asymptotisch automatische Sequenzen logarithmische Frequenzen nicht garantiert existieren und, falls Frequenzen existieren, nicht garantiert rational sind."

Key Insights Distilled From

On asymptotically automatic sequences

by Jakub Koniec... at arxiv.org 04-12-2024

https://arxiv.org/pdf/2305.09885.pdf

Deeper Inquiries

Wie lässt sich die Klasse der asymptotisch automatischen Sequenzen weiter charakterisieren und von anderen Sequenzklassen abgrenzen?

Die Klasse der asymptotisch automatischen Sequenzen kann weiter charakterisiert werden, indem man ihre Eigenschaften im Vergleich zu anderen Sequenzklassen betrachtet. Im gegebenen Kontext wird deutlich, dass asymptotisch automatische Sequenzen eine Verallgemeinerung von automatischen Sequenzen sind. Während automatische Sequenzen durch die Endlichkeit ihrer k-Kerne charakterisiert werden, erweitert die Klasse der asymptotisch automatischen Sequenzen diese Definition, indem sie nur verlangt, dass die k-Kerne bis auf Gleichheit fast überall endlich sind. Dies bedeutet, dass die asymptotische Automatizität weniger restriktiv ist als die Automatizität. Ein wichtiger Unterschied zu anderen Sequenzklassen besteht darin, dass asymptotisch automatische Sequenzen Frequenzen von Symbolen und Teilworten haben können, die nicht rational sind. Dies unterscheidet sie von automatischen Sequenzen, bei denen die Frequenzen rational sind, wenn sie existieren. Darüber hinaus können asymptotisch automatische Sequenzen eine beliebige Frequenz eines Symbols haben, was in automatischen Sequenzen nicht der Fall ist.

Welche weiteren Eigenschaften und Anwendungen asymptotisch automatischer Sequenzen können untersucht werden?

Es gibt verschiedene interessante Eigenschaften und Anwendungen von asymptotisch automatischen Sequenzen, die weiter untersucht werden können. Ein Bereich, der erforscht werden könnte, ist die Klassifizierung von Sequenzen basierend auf ihrer asymptotischen Automatizität. Es könnte untersucht werden, wie sich verschiedene Arten von Sequenzen in Bezug auf ihre asymptotische Automatizität verhalten und ob es spezielle Merkmale gibt, die diese Klassifizierung beeinflussen. Des Weiteren könnten weitere Untersuchungen zur sublinearen Komplexität von asymptotisch automatischen Sequenzen durchgeführt werden. Es wäre interessant zu sehen, wie sich die asymptotische Subwortkomplexität im Vergleich zur linearen Subwortkomplexität von automatischen Sequenzen verhält und welche Schlussfolgerungen daraus gezogen werden können. Zusätzlich könnten Anwendungen von asymptotisch automatischen Sequenzen in verschiedenen Bereichen wie der Kryptographie, der Datenkompression oder der Informationstheorie erforscht werden. Es könnte untersucht werden, wie diese Sequenzen in der Praxis eingesetzt werden können und welche Vorteile sie gegenüber anderen Sequenzklassen bieten.

Inwiefern lassen sich die Erkenntnisse über asymptotisch automatische Sequenzen auf andere Verallgemeinerungen automatischer Sequenzen übertragen?

Die Erkenntnisse über asymptotisch automatische Sequenzen können auf andere Verallgemeinerungen automatischer Sequenzen übertragen werden, indem ähnliche Konzepte und Methoden angewendet werden. Zum Beispiel könnten die Ideen und Techniken, die zur Untersuchung der asymptotischen Automatizität verwendet werden, auf andere Klassen von Sequenzen angewendet werden, die über ähnliche Eigenschaften verfügen. Darüber hinaus könnten die Ergebnisse über die Frequenzen von Symbolen und Teilworten in asymptotisch automatischen Sequenzen auf andere verallgemeinerte Sequenzklassen angewendet werden, um deren Eigenschaften und Verhaltensweisen zu untersuchen. Dies könnte dazu beitragen, ein tieferes Verständnis für verschiedene Arten von Sequenzen und ihre Automatisierbarkeit zu entwickeln.