(σ, δ)-Polycyclic Codes in Ore Extensions over Rings: Algebraic Structure and Applications

Core Concepts

Untersuchung der algebraischen Struktur von (σ, δ)-polycyclischen Codes in Ore-Erweiterungen über Ringe.

Abstract

Einführung in (σ, δ)-polycyclische Codes als Ideale in Quotientenringen.
Klassifizierung von Hamming-isometrisch äquivalenten Codes.
Anwendung der Mattson-Solomon-Transformation.
Strukturierung des Papiers in verschiedene Abschnitte.

Stats

Ein Ore-Erweiterungsring wird durch spezielle Multiplikationsregeln konstruiert.
(σ, δ)-polycyclische Codes sind eine Generalisierung verschiedener zyklischer Codes.
Die (σ, δ)-Mattson-Solomon-Transformation wird für spezielle Codes definiert.

Quotes

"Die Euclidischen Dualen von (σ, δ)-polycyclischen Codes sind (σ, δ)-sequenzielle Codes."
"Die Klassifizierung isometrisch äquivalenter Codes ist ein bekanntes Problem in der Codierungstheorie."

Key Insights Distilled From

$(σ,δ)$-polycyclic codes in Ore extensions over rings

by Mary... at arxiv.org 03-01-2024

https://arxiv.org/pdf/2312.07193.pdf

Deeper Inquiries

Wie können (σ, δ)-polycyclische Codes in der Praxis angewendet werden

In der Praxis können (σ, δ)-polycyclische Codes in verschiedenen Anwendungen im Bereich der Codierungstheorie eingesetzt werden. Diese Codes stellen eine Verallgemeinerung verschiedener Arten von zyklischen Codes dar und bieten somit eine breite Palette von Anwendungsmöglichkeiten. Ein konkretes Anwendungsbeispiel wäre die Fehlerkorrektur in der Datenübertragung, insbesondere in nicht-kommunikativen Ringen. Durch die Verwendung von (σ, δ)-polycyclischen Codes können effiziente Fehlererkennungs- und Fehlerkorrekturmechanismen implementiert werden, die die Datenintegrität gewährleisten. Darüber hinaus können diese Codes auch in der Kryptographie, bei der Konstruktion von sicheren Kommunikationsprotokollen und bei der Entwicklung von zuverlässigen Speicherlösungen eingesetzt werden.

Welche potenziellen Herausforderungen könnten bei der Implementierung von (σ, δ)-polycyclischen Codes auftreten

Bei der Implementierung von (σ, δ)-polycyclischen Codes könnten einige potenzielle Herausforderungen auftreten. Eine Herausforderung besteht darin, die algebraischen Strukturen und Operationen in nicht-kommunikativen Ringen korrekt zu modellieren und zu implementieren. Da (σ, δ)-polycyclische Codes eine Verallgemeinerung von zyklischen Codes sind, erfordern sie ein tiefes Verständnis der zugrunde liegenden mathematischen Konzepte und deren Anwendung in der Codierungstheorie. Darüber hinaus könnte die effiziente Berechnung von Dualcodes und die Optimierung von Decodierungsalgorithmen eine weitere Herausforderung darstellen. Die Komplexität der Berechnungen in nicht-kommunikativen Ringen könnte die Implementierung erschweren und die Leistungsfähigkeit der Codes beeinflussen.

Inwiefern könnten (σ, δ)-polycyclische Codes die Entwicklung von Quantencodes vorantreiben

(σ, δ)-polycyclische Codes könnten die Entwicklung von Quantencodes vorantreiben, insbesondere im Bereich der Quantenfehlerkorrektur. Durch die Anwendung von (σ, δ)-polycyclischen Codes in der Quanteninformationsverarbeitung können robuste und fehlertolerante Quantencodes konstruiert werden. Diese Codes können dazu beitragen, die Zuverlässigkeit von Quantencomputern und Quantenkommunikationssystemen zu verbessern, indem sie Fehler detektieren und korrigieren. Darüber hinaus könnten (σ, δ)-polycyclische Codes neue Ansätze für die Entwicklung von Quantenalgorithmen und die Realisierung von Quantentechnologien bieten, die auf nicht-kommunikativen Ringen basieren.