Core Concepts
Effiziente Lösung von linearen Gleichungssystemen mit RBFs für Approximation und Kollokation.
Abstract
Die Autoren beschreiben eine effiziente Methode zur Approximation von Funktionen mit radialen Basisfunktionen (RBFs) und erweitern dies auf die Lösung von Randwertproblemen auf unregelmäßigen Gebieten. Die Methode basiert auf RBFs mit Zentren auf einem regelmäßigen Gitter, das auf einer Begrenzung definiert ist. Die Gleichung wird durch Kollokation mit Oversampling diskretisiert, wobei nur Kollokationspunkte innerhalb des Gebiets liegen. Das Ziel des Papiers ist die effiziente Lösung dieses rechteckigen Systems. Es wird gezeigt, dass das Least-Squares-Problem in einen regulären Teil aufgeteilt wird, der mit der FFT beschleunigt werden kann, und eine niedrigrangige Störung, die separat mit einem direkten Solver behandelt wird. Die Effizienz des Solvers wird durch den AZ-Algorithmus erweitert, der zuvor für die Funktionenapproximation mit Frames und anderen überkompletten Sätzen vorgeschlagen wurde. Der Solver hat eine nahezu optimale logarithmische Komplexität für eindimensionale Probleme und verliert an Optimalität für höherdimensionale Probleme, bleibt jedoch schneller als ein direkter Solver.
Stats
Die Gleichung wird durch Kollokation mit Oversampling diskretisiert.
Die Methode basiert auf RBFs mit Zentren auf einem regelmäßigen Gitter.
Die Least-Squares-Problem teilt sich in einen regulären Teil, der mit der FFT beschleunigt werden kann, und eine niedrigrangige Störung.
Quotes
"Die Methode basiert auf RBFs mit Zentren auf einem regelmäßigen Gitter."
"Der Solver hat eine nahezu optimale logarithmische Komplexität für eindimensionale Probleme."