Enge Grenzen für das Lernen von Homotopie à la Niyogi, Smale und Weinberger für Teilmengen von euklidischen Räumen und Riemannschen Mannigfaltigkeiten

Core Concepts

Erweiterung und Stärkung der Arbeit von Niyogi, Smale und Weinberger zur Homotopie-Typ-Lernung in euklidischen Räumen und Riemannschen Mannigfaltigkeiten.

Abstract

Autoren erweitern die Arbeit von Niyogi, Smale und Weinberger zur Homotopie-Typ-Lernung.
Untersuchung von positiven Reichweiten in euklidischen Räumen und Riemannschen Mannigfaltigkeiten.
Unterscheidung zwischen δ und ε für enge Grenzen.
Finanziert durch ERC, Wittgenstein-Preis und DFG.
Untersuchung von Homotopie-Lernen und topologischer Datenanalyse.
Erweiterung der Ergebnisse auf verschiedene Umgebungen.
Konstruktionen zur Veranschaulichung der engen Grenzen.

Stats

Wir erweitern die Arbeit von Niyogi, Smale und Weinberger auf positive Reichweiten.
Es gibt enge Grenzen in Bezug auf δ und ε.
Die Autoren unterscheiden zwischen δ und ε.

Quotes

"Wir erweitern die Arbeit von Niyogi, Smale und Weinberger zur Homotopie-Typ-Lernung."
"Es gibt enge Grenzen in Bezug auf δ und ε."

Key Insights Distilled From

Tight bounds for the learning of homotopy à la Niyogi, Smale, and Weinberger for subsets of Euclidean spaces and of Riemannian manifolds

by Domi... at arxiv.org 03-01-2024

https://arxiv.org/pdf/2206.10485.pdf

Deeper Inquiries

Wie können die Ergebnisse auf Rips-Komplexe erweitert werden

Die Ergebnisse können auf Rips-Komplexe erweitert werden, indem man die Resultate von Chazal und Kollegen zur Interleaving zwischen den Čech- und Rips-Komplexen nutzt. Durch die Kombination dieser Ergebnisse mit den Resultaten des vorliegenden Artikels kann die Homologietyp eines Teils einer Riemannschen Mannigfaltigkeit mithilfe der persistenten Homologie von Rips-Komplexen rekonstruiert werden. Dies ermöglicht eine einfachere Berechnung, da nur die Abstände zwischen Paaren von Punkten berücksichtigt werden müssen.

Unter welchen Bedingungen generalisieren sich die Ergebnisse auf eine größere Klasse von metrischen Räumen mit unteren Krümmungen

Die Ergebnisse könnten unter der Bedingung verallgemeinert werden, dass sie auf eine größere Klasse von metrischen Räumen mit unteren Krümmungen zutreffen. Eine mögliche Erweiterung könnte darin bestehen, die Begriffe des positiven µ-Reach und der schwachen Merkmalsgröße auf Riemannsche Mannigfaltigkeiten zu übertragen. Es wird erwartet, dass viele der Hauptergebnisse aus dem euklidischen Kontext mit geringfügigen Anpassungen in diesem allgemeineren Zusammenhang weiterhin gelten.

Wie können die Ergebnisse auf Riemannsche Mannigfaltigkeiten erweitert werden

Die Ergebnisse können auf Riemannsche Mannigfaltigkeiten erweitert werden, indem man die Ergebnisse auf Mengen von positivem (Cut-Locus-)Reach anwendet. Durch die Einführung einer neuen Definition des Reach, inspiriert vom Cut-Locus, wird es möglich, die Homotopie-Inferenz für Subsets von Riemannschen Mannigfaltigkeiten zu ermöglichen. Die Ergebnisse liefern enge Grenzen für die Qualität der Stichprobenparameter, die erfüllt sein müssen, um eine erfolgreiche Homotopie-Inferenz zu gewährleisten.