Minimum acyclic number and maximum dichromatic number of oriented triangle-free graphs of a given order

Core Concepts

Die 25-Vertex-Digraph D25 ist ein 3-dikritischer orientierter dreiecksfreier Graph.

Abstract

Das Paper untersucht die acyclische und dichromatische Anzahl orientierter dreiecksfreier Graphen. Es zeigt, dass der 25-Vertex-Digraph D25 ein 3-dikritischer Graph ist. Es werden verschiedene Beweise und Konstruktionen präsentiert, um die Ergebnisse zu stützen. Einleitung Definitionen von unabhängigen Mengen, Chromatischer Zahl, und Ramsey-Zahlen. Die Inverse Ramsey-Zahl und frühere Arbeiten zur Bestimmung von R(3, t) und Q(3, n). Problemstellung Untersuchung der acyclischen und dichromatischen Zahlen orientierter dreiecksfreier Graphen. Beweis der Nicht-2-Dikolierbarkeit des 25-Vertex-Digraphen D25. Ergebnisse Konstruktion des 25-Vertex-Digraphen D25 als 3-dikritisch. Anwendung von Lemmata und Beweisen zur Untermauerung der Ergebnisse.

Stats

Für jedes ε > 0 und ausreichend großes n zeigen wir (1/√2 - ε)√n log n ≤ ⃗a(n) ≤ 107/8 √n log n. Für jedes ε > 0 und ausreichend großes n zeigen wir 8/107 √n/ log n ≤ ⃗t(n) ≤ (√2 + ε)√n/ log n.

Quotes

"Der 25-Vertex-Digraph D25 ist nicht 2-dikolierbar." "Der 25-Vertex-Digraph D25 ist ein 3-dikritischer Graph."

Key Insights Distilled From

Minimum acyclic number and maximum dichromatic number of oriented triangle-free graphs of a given order

by Pier... at arxiv.org 03-05-2024

https://arxiv.org/pdf/2403.02298.pdf

Deeper Inquiries

Wie können die Ergebnisse auf andere Graphen angewendet werden?

Die Ergebnisse, insbesondere die Tatsache, dass der 5-Rückwärts-Blowup von C5 nicht 2-dikolierbar ist, können auf ähnliche Graphen angewendet werden. Indem wir ähnliche Konzepte und Beweistechniken verwenden, können wir zeigen, dass der ℓ-Rückwärts-Blowup von Cℓ ebenfalls nicht 2-dikolierbar ist, für jedes ungerade ℓ. Dies eröffnet Möglichkeiten, die Dikolierbarkeit von anderen speziellen Graphen zu untersuchen und neue nicht-dikolierbare Graphen zu identifizieren.

Welche Auswirkungen haben diese Ergebnisse auf die Graphentheorie im Allgemeinen?

Die Ergebnisse haben wichtige Auswirkungen auf die Graphentheorie, insbesondere im Bereich der Dikolierbarkeit von Graphen. Sie zeigen, dass bestimmte Konstruktionen von Graphen, wie der Rückwärts-Blowup, genutzt werden können, um die Dikolierbarkeit von Graphen zu untersuchen. Darüber hinaus tragen sie dazu bei, das Verständnis von kritischen Graphen zu vertiefen und neue Erkenntnisse über die Struktur und Eigenschaften von Graphen zu gewinnen.

Welche anderen Anwendungen könnten sich aus der Nicht-2-Dikolierbarkeit des D25 ergeben?

Die Nicht-2-Dikolierbarkeit des D25, zusammen mit der Tatsache, dass es 3-dikritisch ist, könnte in verschiedenen Anwendungen in der Graphentheorie und verwandten Bereichen nützlich sein. Zum Beispiel könnte sie bei der Konstruktion von kritischen Graphen für andere Dikolierbarkeitsprobleme verwendet werden. Darüber hinaus könnte sie als Ausgangspunkt für die Untersuchung spezieller Eigenschaften von Graphen dienen, die sich auf ihre Dikolierbarkeit auswirken.