Diskrete Poincaré-Ungleichung und diskrete Spurungleichung in stückweise polynomialen hybridisierbaren Räumen

Core Concepts

In dieser Arbeit werden diskrete Versionen der Poincaré- und Spurungleichungen für hybridisierbare Finite-Elemente-Räume hergeleitet. Diese Räume bestehen aus stückweise polynomialen Funktionen, die sowohl innerhalb der Elemente als auch über alle Flächen im Gittergrat definiert sind, und dienen als Basis für die hybridisierbaren diskontinuierlichen Galerkin-Methode (HDG) und die Hybrid-High-Order-Methode (HHO). Darüber hinaus wird eine spezielle Anpassung dieser Ungleichungen für die HDG-Methode präsentiert und angewendet, um die Stabilität der zugehörigen numerischen Verfahren für elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordnung unter minimalen Regularitätsannahmen für den Quellterm und die Randdaten zu zeigen.

Abstract

Die Arbeit beginnt mit einer Einführung in die klassischen Poincaré-Friedrichs-Ungleichungen und die Spurungleichung für den Sobolev-Raum H1. Anschließend wird die Motivation für die Erweiterung dieser Ungleichungen auf hybridisierbare Räume erläutert, da diese Räume zunehmend in der räumlichen Diskretisierung verschiedener Probleme Verwendung finden, insbesondere in der Hybridisierbaren Diskontinuierlichen Galerkin-Methode (HDG) und der Hybrid-High-Order-Methode (HHO). Der Hauptteil der Arbeit widmet sich dem Beweis der diskreten Poincaré-Ungleichung für hybridisierbare Räume. Dazu wird zunächst eine Verbindung zu nichtkonformen Räumen hergestellt, indem ein Crouzeix-Raviart-Lifting-Operator eingeführt wird. Mit Hilfe dieses Operators können die Sprungterme, die bei einer direkten Übertragung der Poincaré-Ungleichung für nichtkonformen Räume auftreten würden, eliminiert werden. Dies ermöglicht es, schärfere Abschätzungen zu erhalten, die von der Gittergröße linear abhängen. Anschließend wird die diskrete Spurungleichung für hybridisierbare Räume hergeleitet, wobei ebenfalls der Crouzeix-Raviart-Operator eine zentrale Rolle spielt. Abschließend werden diese Ungleichungen genutzt, um die Stabilität der HDG-Formulierung für elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordnung zu zeigen.

Stats

Die Poincaré-Ungleichung für hybridisierbare Räume lautet: ∥uh∥2L2(Ω;Th) ≲ (hK)2|uh|2H1(Ω;Th) + hK∥uh - ûh∥2L2(Ω;∂Th) + ∥LCR h (ûh)∥2H1(Ω;Th) + (∫Ω ûh dx)2 Die Spurungleichung für hybridisierbare Räume lautet: ∥uh∥2L2(Ω;∂Th) ≲ hK|uh|2H1(Ω;Th) + ∥uh - ûh∥2L2(Ω;∂Th) + (1 + hK)|LCR h (ûh)|2H1(Ω;Th) + (∫Γ ûh ds)2 ∥ûh∥2L2(Ω;∂Th) ≲ hK|uh|2H1(Ω;Th) + ∥uh - ûh∥2L2(Ω;∂Th) + (1 + hK)|LCR h (ûh)|2H1(Ω;Th) + (∫Γ ûh ds)2

Quotes

"In dieser Arbeit führen wir Analoga der Poincaré-Ungleichungen (1.1) bis (1.2) für beliebige Paare von stückweise polynomialen Funktionen (uh, ûh) ∈ Xh k ein." "Darüber hinaus entwickeln wir Analoga der Spurungleichungen (1.4) bis (1.5) für beliebige Paare von stückweise polynomialen Funktionen (uh, ûh) ∈ Xh k."

Key Insights Distilled From

Discrete Poincaré inequality and Discrete Trace inequality in Piece-wise Polynomial Hybridizable Spaces

by Yukun Yue at arxiv.org 03-29-2024

https://arxiv.org/pdf/2403.19004.pdf

Deeper Inquiries

Wie lassen sich die Ergebnisse dieser Arbeit auf komplexere Gitterstrukturen mit Hanging Nodes erweitern

Die Ergebnisse dieser Arbeit könnten auf komplexere Gitterstrukturen mit Hanging Nodes erweitert werden, indem zusätzliche Annahmen oder Modifikationen vorgenommen werden. Für Gitter mit Hanging Nodes müssten spezifische Bedingungen eingeführt werden, um die Stabilität und Genauigkeit der Poincaré- und Spurungleichungen sicherzustellen. Dies könnte beinhalten, wie die Interpolation über Hanging Nodes behandelt wird und wie die Sprünge über diese Knoten kontrolliert werden können. Durch die Anpassung der Analyse auf Gitter mit Hanging Nodes könnte die Anwendbarkeit der entwickelten Ungleichungen auf komplexere Gitterstrukturen verbessert werden.

Welche zusätzlichen Annahmen oder Modifikationen wären nötig, um die Poincaré- und Spurungleichungen auch für andere numerische Methoden, wie z.B. die Diskontinuierliche Galerkin-Methode, herzuleiten

Um die Poincaré- und Spurungleichungen auch für andere numerische Methoden wie die Diskontinuierliche Galerkin-Methode herzuleiten, wären zusätzliche Annahmen oder Modifikationen erforderlich. Für die Diskontinuierliche Galerkin-Methode, die ebenfalls auf nichtkonformen Räumen basiert, müssten spezifische Eigenschaften dieser Methode berücksichtigt werden. Dies könnte die Berücksichtigung von Sprüngen über Elementgrenzen, die Behandlung von Interpolationsfehlern und die Anpassung der Ungleichungen an die spezifischen Anforderungen der Diskontinuierlichen Galerkin-Methode umfassen. Durch die Anpassung der Herleitung auf diese Methode könnten die entwickelten Ungleichungen auf eine breitere Palette von numerischen Methoden angewendet werden.

Welche Implikationen haben die in dieser Arbeit entwickelten Ungleichungen für die Analyse anderer partieller Differentialgleichungen, die über hybridisierbare Methoden diskretisiert werden

Die in dieser Arbeit entwickelten Poincaré- und Spurungleichungen haben wichtige Implikationen für die Analyse anderer partieller Differentialgleichungen, die über hybridisierbare Methoden diskretisiert werden. Diese Ungleichungen bieten eine Grundlage für die Stabilitätsanalyse und numerische Lösung von partiellen Differentialgleichungen unter Verwendung von Hybridmethoden. Durch die Anwendung dieser Ungleichungen können numerische Verfahren für eine Vielzahl von Problemen, einschließlich elliptischer Gleichungen, unter minimalen Regularitätsannahmen für Quellterm und Randdaten stabilisiert werden. Die Ergebnisse dieser Arbeit tragen somit zur Entwicklung und Analyse effizienter numerischer Methoden für partielle Differentialgleichungen bei.