Konvergenzraten für die Approximation von zufälligen Evolutionsgleichungen

Core Concepts

In dieser Arbeit wird ein abstrakter Rahmen präsentiert, um Konvergenzraten für die Approximation von zufälligen Evolutionsgleichungen zu erhalten, die durch endlichdimensionales Rauschen bestimmt sind. Die vollständige Diskretisierung in Raum, Zeit und Zufälligkeit wird betrachtet, wobei die Polynomial-Chaos-Entwicklung (PCE) für die Halbdiskretisierung in der Zufälligkeit verwendet wird.

Abstract

Die Hauptergebnisse sind Regularitätsbedingungen für die zufälligen Formen, unter denen eine polynomiale Konvergenzordnung in der Zufälligkeit in Abhängigkeit von der Glattheit der Koeffizienten und der Sobolev-Regularität des Anfangswerts erzielt wird. In Raum und Zeit werden die gleichen Konvergenzraten wie im deterministischen Fall erreicht.
Um dies zu zeigen, werden Fehlerschätzungen für vektorwertige PCE sowie eine quantifizierte Version des Trotter-Kato-Satzes für forminduzierte Halbgruppen hergeleitet. Insbesondere erfordert die Schätzung des Halbdiskretisierungsfehlers in der Zufälligkeit mehr als eine einfache Anwendung einer PCE-Fehlerschranke. Stattdessen wird ein modifiziertes Trotter-Kato-Argument verwendet, das auf punktweisen Abschätzungen in z basiert.

Stats

Es gibt eine Konstante M ≥ 1 und ein σ ∈ R, so dass ∥Tω(t)∥ ≤ Meσt für alle t ≥ 0 und ω ∈ Ω \ NΩ.
Die Konvergenzordnung der Raumdiskretisierung ist px auf Yx.
Die Konvergenzordnung der Zeitdiskretisierung ist pt auf Yt.
Die Konvergenzordnung der Polynomial-Chaos-Approximation ist pz auf Yz.

Quotes

"In dieser Arbeit wird ein abstrakter Rahmen präsentiert, um Konvergenzraten für die Approximation von zufälligen Evolutionsgleichungen zu erhalten, die durch endlichdimensionales Rauschen bestimmt sind."
"Die Hauptergebnisse sind Regularitätsbedingungen für die zufälligen Formen, unter denen eine polynomiale Konvergenzordnung in der Zufälligkeit in Abhängigkeit von der Glattheit der Koeffizienten und der Sobolev-Regularität des Anfangswerts erzielt wird."

Key Insights Distilled From

Approximation of Random Evolution Equations

by Katharina Kl... at arxiv.org 04-12-2024

https://arxiv.org/pdf/2404.07660.pdf

Deeper Inquiries

Wie lassen sich die Ergebnisse auf Evolutionsgleichungen mit unendlichdimensionalem Rauschen erweitern

Die Ergebnisse können auf Evolutionsgleichungen mit unendlichdimensionalem Rauschen erweitert werden, indem man die Konzepte der Polynomial Chaos Approximation auf den unendlichdimensionalen Fall überträgt. Dies erfordert die Verwendung von Orthogonalpolynomen, die für die spezifischen Verteilungen des unendlichdimensionalen Rauschens geeignet sind. Durch die Erweiterung der orthogonalen Basis auf den unendlichdimensionalen Raum kann die Konvergenz der Polynomial Chaos Approximation auch für Evolutionsgleichungen mit unendlichdimensionalem Rauschen nachgewiesen werden.

Welche zusätzlichen Annahmen wären nötig, um die Konvergenzraten auch für nicht-symmetrische Formen zu erhalten

Um die Konvergenzraten auch für nicht-symmetrische Formen zu erhalten, wären zusätzliche Annahmen über die Regularität der Formen erforderlich. Insbesondere müssten die Formen bestimmte Regularitätsbedingungen erfüllen, die es ermöglichen, die Konvergenzraten der Polynomial Chaos Approximation auch für nicht-symmetrische Formen zu garantieren. Diese Regularitätsbedingungen könnten beispielsweise die Existenz von Ableitungen höherer Ordnung oder spezielle Strukturannahmen über die Formen umfassen.

Inwiefern können die Methoden auf nichtlineare Evolutionsgleichungen übertragen werden

Die Methoden können auf nichtlineare Evolutionsgleichungen übertragen werden, indem man die Konzepte der Raum-, Zeit- und Rauschenapproximation auf nichtlineare Evolutionsgleichungen anwendet. Dies erfordert die Berücksichtigung der Nichtlinearitäten in den Gleichungen und die Anpassung der Approximationsmethoden entsprechend. Durch die Verallgemeinerung der Approximationsverfahren auf nichtlineare Evolutionsgleichungen können Konvergenzraten für die Approximation der Lösungen dieser Gleichungen unter Berücksichtigung von Raum, Zeit und Rauschen abgeleitet werden.