Neuartige symmetrische unisolvent-Gleichungen für die lineare Elastizität rein in Spannungen

Core Concepts

In dieser Arbeit werden neuartige Spannungsformulierungen der linearen Elastizität eingeführt, die eine direkte Approximation des Spannungstensors ohne vorgegebene Spannungsfunktionen ermöglichen. Die zugehörigen Variationsformulierungen sind in H 1⊗Sym(d) wohlgestellt und erlauben eine einfache Finite-Elemente-Implementierung mit C 0-stetigen Elementen.

Abstract

Die Arbeit führt neuartige Spannungsformulierungen der linearen Elastizität ein, die rein in Spannungen formuliert sind und ohne zusätzliche Felder auskommen. Die Autoren leiten vier Randwertprobleme für die reine Spannungsformulierung in drei Dimensionen sowie für ebene Spannung und ebene Dehnung in zwei Dimensionen her. Die zugehörigen Variationsformulierungen werden in funktionalanalytischen Rahmen untersucht und als wohlgestellt in H 1⊗Sym(d) nachgewiesen. Damit lassen sich diese Formulierungen einfach mit C 0-stetigen Finite-Elemente-Methoden implementieren. Weiterhin wird eine Behandlung konstanter und stückweise konstanter Volumenkräfte über Distributionen vorgestellt. Die Operatoren und Differentialidentitäten werden in moderner Tensornotation angegeben, was die resultierenden Gleichungen und Differentialbeziehungen direkt verständlich macht. Abschließend werden numerische Benchmarks zur Konvergenz sowie eine Spektralanalyse verwendet, um die Grenzen und möglichen Anwendungsfälle der Gleichungen zu identifizieren.

Stats

Die Poisson-Zahl ν liegt im Bereich [0, 1/2], so dass der Materialparameter χ = 1/(1+ν) im Bereich [2/3, 1] liegt.
Die Norm des Spannungstensors σ in H 1⊗Sym(d) ist durch ∥σ∥2
H 1 = ∥σ∥2
L2 + ∥Dσ∥2
L2 gegeben.
Die Koerzivitätskonstante β = β(ν) > 0 hängt von der Poisson-Zahl ν ab.

Quotes

"In dieser Arbeit werden neuartige Spannungsformulierungen der linearen Elastizität eingeführt, die eine direkte Approximation des Spannungstensors ohne vorgegebene Spannungsfunktionen ermöglichen."
"Die zugehörigen Variationsformulierungen sind in H 1⊗Sym(d) wohlgestellt und erlauben eine einfache Finite-Elemente-Implementierung mit C 0-stetigen Elementen."

Key Insights Distilled From

Symmetric unisolvent equations for linear elasticity purely in stresses

by Adam Sky,And... at arxiv.org 03-19-2024

https://arxiv.org/pdf/2402.00480.pdf

Deeper Inquiries

Wie lassen sich die vorgestellten Spannungsformulierungen auf nichtlineare Materialgesetze erweitern?

Die vorgestellten Spannungsformulierungen für lineare Elastizität können auf nichtlineare Materialgesetze erweitert werden, indem man die linearisierten Gleichungen durch nichtlineare Konstitutivgesetze ersetzt. Für nichtlineare Materialien wie hyperelastische oder viskoplastische Materialien können beispielsweise nichtlineare Spannungs-Dehnungs-Beziehungen verwendet werden, wie das Neo-Hooke'sche Modell oder das Maxwell-Modell. Diese nichtlinearen Materialgesetze führen zu nichtlinearen Gleichungen, die dann in die Spannungsformulierungen integriert werden können. Die nichtlinearen Gleichungen können numerisch gelöst werden, beispielsweise durch iterative Verfahren wie das Newton-Raphson-Verfahren.

Welche Auswirkungen haben unterschiedliche Randbedingungen, wie z.B. gemischte Dirichlet-Neumann-Bedingungen, auf die Stabilität und Konvergenz der Formulierungen?

Gemischte Dirichlet-Neumann-Bedingungen können die Stabilität und Konvergenz der Spannungsformulierungen beeinflussen. Bei gemischten Randbedingungen müssen die Gleichungen sowohl auf dem Dirichlet- als auch auf dem Neumann-Teil der Grenze erfüllt sein. Dies kann zu zusätzlichen Herausforderungen bei der numerischen Lösung führen, da die Randbedingungen möglicherweise nicht direkt in die Formulierung integriert werden können. Die Stabilität und Konvergenz können durch die Wahl geeigneter Diskretisierungsmethoden, wie z.B. Finite-Elemente-Methoden, und geeigneter Solver-Algorithmen sichergestellt werden. Die gemischten Randbedingungen erfordern oft spezielle Behandlungen, um sicherzustellen, dass die Lösung korrekt und stabil ist.

Inwiefern können die Spannungsformulierungen für die Modellierung gekoppelter multiphysikalischer Probleme, wie z.B. Fluid-Struktur-Interaktion, eingesetzt werden?

Die Spannungsformulierungen können für die Modellierung gekoppelter multiphysikalischer Probleme wie Fluid-Struktur-Interaktion eingesetzt werden, indem sie in entsprechende gekoppelte Gleichungssysteme integriert werden. In der Fluid-Struktur-Interaktion werden die Spannungsformulierungen für die Strukturseite verwendet, während für die Fluidseite Navier-Stokes-Gleichungen oder andere Strömungsgleichungen gelten. Durch die Kopplung der Gleichungen können Wechselwirkungen zwischen den beiden physikalischen Domänen berücksichtigt werden, z.B. wie sich die Strukturverformung auf den Fluidfluss auswirkt und umgekehrt. Die Spannungsformulierungen spielen eine wichtige Rolle bei der Berechnung von Spannungen und Verformungen in den Strukturkomponenten eines gekoppelten Systems und ermöglichen eine detaillierte Analyse der mechanischen Belastungen.