Energieerhaltende, implizite und zeitlich höhere Ordnung der Diskretisierung von Maxwells Gleichungen

Core Concepts

Eine Verallgemeinerung des impliziten Leapfrog-Schemas auf eine beliebige (gerade) Ordnung zur Zeitdiskretisierung von Maxwells Gleichungen wird präsentiert, einschließlich einer vollständigen Fehleranalyse für das Verfahren vierter Ordnung.

Abstract

Die Arbeit präsentiert eine Verallgemeinerung des impliziten Leapfrog-Schemas aus früheren Arbeiten der Autoren auf eine beliebige (gerade) Ordnung zur Zeitdiskretisierung von Maxwells Gleichungen. Das Ziel ist es, ein energieerhaltenes, implizites und zeitlich höherer Ordnung Verfahren zu entwickeln. Zunächst werden die Maxwells Gleichungen in der Form eines Systems für (p, E, H) dargestellt, wobei p eine fiktive elektrische Druckvariable ist und E und H die elektrische Feldstärke und magnetische Flussdichte sind. Für dieses System wird eine variationelle Formulierung angegeben. Anschließend wird das implizite Leapfrog-Verfahren vierter Ordnung (LF4) hergeleitet und analysiert. Es wird gezeigt, dass dieses Verfahren stabil ist und eine Fehlerordnung von O(Δt⁴) aufweist. Darüber hinaus wird das Verfahren auf eine beliebige (gerade) Ordnung R verallgemeinert, wobei die vollständige Fehleranalyse für den Fall R=4 präsentiert wird. Die Autoren versprechen, die Beweise für den allgemeinen Fall R in einer zukünftigen Arbeit zu liefern.

Stats

Die Diskretisierung der Maxwellschen Gleichungen führt auf folgende wichtige Gleichungen: pⁿ⁺¹/² - pⁿ⁻¹/² / Δt - ε(Eⁿ⁺¹/² + Eⁿ⁻¹/²) / 2, ∇p̃ + Δt²/12 ∇∇·(Eⁿ⁺¹/² + Eⁿ⁻¹/²), ∇p̃ = 0 1/2 ∇(pⁿ⁺¹/² + pⁿ⁻¹/²), Ẽ - Δt²/12 1/2 ∇(pⁿ⁺¹/² + pⁿ⁻¹/²), ∇∇·Ẽ + ε(Eⁿ⁺¹/² - Eⁿ⁻¹/²) / Δt, Ẽ - 1/2(Hⁿ⁺¹ + Hⁿ), ∇×Ẽ - Δt²/12 1/2μ⁻¹ε⁻¹∇×∇×(Hⁿ⁺¹ + Hⁿ), ∇×Ẽ = 0 μ(Hⁿ⁺¹ - Hⁿ) / Δt, H̃ + 1/2∇×(Eⁿ⁺¹/² + Eⁿ⁻¹/²), H̃ + Δt²/12 1/2ε⁻¹μ⁻¹∇×∇×(Eⁿ⁺¹/² + Eⁿ⁻¹/²), ∇×H̃ = 0

Quotes

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Key Insights Distilled From

An Energy Conserving, Implicit and Higher Order in Time Discretization of Maxwell's Equations

by Archana Arya... at arxiv.org 04-09-2024

https://arxiv.org/pdf/2404.05004.pdf

Deeper Inquiries

Wie lässt sich das vorgestellte Verfahren auf nichtlineare Maxwellsche Gleichungen erweitern

Um das vorgestellte Verfahren auf nichtlineare Maxwellsche Gleichungen zu erweitern, müssten die nichtlinearen Terme in den Gleichungen berücksichtigt werden. Dies könnte durch die Anwendung von Iterationsverfahren wie dem Newton-Verfahren erfolgen, um die nichtlinearen Gleichungen zu lösen. Eine Möglichkeit wäre die Verwendung einer nichtlinearen FEM-Diskretisierung in Verbindung mit dem impliziten Leapfrog-Schema, um die nichtlinearen Effekte zu berücksichtigen und das Verfahren auf nichtlineare Maxwellsche Gleichungen zu erweitern.

Welche Auswirkungen haben unterschiedliche Randbedingungen auf die Stabilität und Genauigkeit des Verfahrens

Unterschiedliche Randbedingungen können erhebliche Auswirkungen auf die Stabilität und Genauigkeit des Verfahrens haben. Zum Beispiel können Dirichlet-Randbedingungen die Konvergenz des Verfahrens beeinflussen, insbesondere wenn sie nicht konsistent mit den diskretisierten Gleichungen sind. Neumann-Randbedingungen können ebenfalls die Stabilität beeinflussen, insbesondere wenn sie nicht eindeutig sind. Es ist wichtig, die Randbedingungen sorgfältig zu behandeln und sicherzustellen, dass sie korrekt in das diskretisierte Verfahren integriert werden, um die Stabilität und Genauigkeit zu gewährleisten.

Wie kann das Verfahren auf andere partielle Differentialgleichungen übertragen werden, die ähnliche Strukturen wie Maxwells Gleichungen aufweisen

Das vorgestellte Verfahren kann auf andere partielle Differentialgleichungen übertragen werden, die ähnliche Strukturen wie Maxwells Gleichungen aufweisen, wie z.B. die Navier-Stokes-Gleichungen oder die Gleichungen der Elastizitätstheorie. Durch Anpassung der Diskretisierungsmethoden und der numerischen Techniken kann das Verfahren auf diese Gleichungen angewendet werden. Es ist wichtig, die spezifischen Eigenschaften der jeweiligen Gleichungen zu berücksichtigen und das Verfahren entsprechend anzupassen, um eine effektive Lösung zu erzielen.