Core Concepts
Wir zeigen, dass unter einer Spektrallücken-Bedingung die absolute mittlere Fehlerrate der MCMC-Schätzung für Lp-Funktionen mit p ∈(1, 2) optimal ist, d.h. von der Ordnung n1/p−1.
Abstract
Der Artikel untersucht die Markov-Ketten-Monte-Carlo (MCMC)-Schätzung für numerische Integration von Funktionen, die nicht quadratisch integrierbar bezüglich der invarianten Verteilung sein müssen. Für Ketten mit einer Spektrallücke zeigen wir, dass der absolute mittlere Fehler für Lp-Funktionen mit p ∈(1, 2) mit der Rate n1/p−1 abnimmt, was als optimal bekannt ist. Dies verbessert die bisher bekannten Ergebnisse, bei denen ein zusätzlicher Parameter δ > 0 auftaucht und die Konvergenz von der Ordnung n(1+δ)/p−1 ist.
Der Beweis basiert auf der Invertierbarkeit von Id −K auf einem geeigneten Unterraum von L2(π), was mit einer Spektrallückenbedingung äquivalent ist. Zunächst wird eine Schranke für den mittleren quadratischen Fehler hergeleitet, was dann mittels des Riesz-Thorin-Interpolationstheorems zur optimalen Rate für den absoluten mittleren Fehler führt.
Stats
Für jedes n ∈N und f ∈Lp(π) mit p ∈(1, 2) gilt:
Eν[|Snf −π(f)|p] ≤ C1 ∥f∥p
Lp(π) / np−1
mit C1 = (1 + ∥dν/dπ∥L∞(π))2−p (12s2∥dν/dπ∥L∞(π))p−1.
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