Starke Komplexität der Berechnung des Schaltkreis-Durchmessers und des monotonen Durchmessers von Polytopen

Core Concepts

Das Berechnen des Schaltkreis-Durchmessers und des monotonen Durchmessers eines gegebenen Polytops ist stark NP-schwer.

Abstract

Die Kernaussage dieses Artikels ist, dass die Berechnung des Schaltkreis-Durchmessers und des monotonen Durchmessers eines Polytops stark NP-schwer ist.
Um dies zu zeigen, wird zunächst die Komplexität der Berechnung des (kombinatorischen) Durchmessers des perfekten Matching-Polytops eines bipartiten Graphen untersucht. Es wird bewiesen, dass dieses Problem NP-hart ist. Daraus folgt dann direkt die Komplexität der Berechnung des Schaltkreis-Durchmessers und des monotonen Durchmessers eines allgemeinen Polytops.
Zusätzlich wird eine präzise graph-theoretische Beschreibung des monotonen Durchmessers des perfekten Matching-Polytops eines bipartiten Graphen gegeben. Diese Beschreibung impliziert, dass die Berechnung des monotonen Durchmessers ebenfalls stark NP-hart ist.
Insgesamt zeigt der Artikel, dass die Berechnung der verschiedenen Polytop-Durchmesser, die für die Analyse von Simplex-Algorithmen relevant sind, wahrscheinlich nicht effizient möglich ist.

Stats

Die Länge einer kürzesten Folge von Zyklen, die eine Matching-Transformation in einem perfekten Matching-Polytop eines bipartiten Graphen mit n Knoten ermöglicht, beträgt mindestens n/(n-1)(2h-2), wobei h die Höhe der verwendeten Türme ist.

Quotes

"Determining the complexity of computing the circuit diameter of polytopes was posed as an open problem by Sanità [San20] as well as by Kafer [Kaf22], and was recently reiterated by Borgwardt, Grewe, Kafer, Lee and Sanità [BGKLS24]."
"In our second main result, we give a precise graph-theoretic description of the monotone diameter of perfect matching polytopes and use this description to prove that computing the monotone (circuit) diameter of a given input polytope is strongly NP-hard as well."

Key Insights Distilled From

Hardness of circuit and monotone diameters of polytopes

by Chri... at arxiv.org 04-08-2024

https://arxiv.org/pdf/2404.04158.pdf

Deeper Inquiries

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